Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Линии скольжения при плоской деформации

Так как одна из главных плоскостей перпендикулярна оси то две другие главные плоскости параллельны оси Их положение определяется углом между нормалью одной из главных площадок и осью х (рис, 49):

В этом случае

Рис. 49

Поскольку

выражения для главных напряжений при плоской деформации имеют вид

Соотношения (6,9) указывают на то, что напряженное состояние при плоской деформации может рассматриваться как наложение всестороннего равного растяжения с напряжением на чистый сдвиг с напряжением (рис. 50). Напряженное состояние данного элемента в плоскости показано на рис. 49. Поскольку максимальные касательные напряжения действуют в площадках под углом 45° к главным напряжениям, наклон на площадках действия

наибольших касательных напряжений определяется углами (см. рис. 49). Линии, которые касаются всеми своими точками площадок наибольших касательных напряжений, называются линиями скольжения. Очевидно, что сущеетвует два ортогональных семейства линий скольжения (рис. 51, а), которые определяются следующими дифференциальными уравнениями:

где угол наклона касательной к линии скольжения семейства а и - семейства Напряженное состояние элемента, выделенного линиями скольжения при плоской деформации в плескости показано на рис. 51, б [102].

Рис. 50

Компоненты напряжений в некоторой точке в учетом (6.2) зависят от угла наклона касательной к линии скольжения, проходящей через эту точку:

Рис. 51

Соотношения (6.11) тождественно удовлетворяют условиям пластичности (6.2). Используя соотношение (6.11), перепишем дифференциальные уравнения равновесия (6.1) в виде

Решение системы (6.12) существенно определяется ее видом [9, 19, 69, 89, 101, 102, 123, 155, 200, 206, 211, 212, 224].

Если в плоскости выбрать кривую, вдоль которой заданы функции то можно составить дополнительные уравнения:

Уравнения (6.12) и (6.13) вдоль линии образуют четыре алгебраических неоднородных уравнения относительно частных производных: Решение системы уравнений (6.12) и (6.13) может быть представлено в форме определителей. Частные производные вычисляются единственным образом, кроме случая, когда вдоль линии определитель рассматриваемой системы равен нулю. Указанные линии называют характеристиками системы дифференциальных уравнений (6.12) [196]. Уравнения характеристик получаем из условия [102]

Раскрывая данный определитель, находим

Корни характеристического уравнения (6.14)

Поскольку оба корня характеристического уравнения (6.14) действительные и различные, система дифференциальных уравнений (6.12) является гиперболической. Если оба корня (6.14) одинаковы,

то система уравнений (6.12) является параболической, а если оба корня комплексные — эллиптической.

Сопоставляя уравнения (6.15) и (6.10), заключаем, что характеристики совпадают с линиями скольжения. Если выбрать систему координат так, что в каждой точке оси координат будут направлены по касательным к линиям скольжения (рис. 52) [102], то, поскольку х совпадает с уравнения (6.12) имеют вид

Уравнения (6,16) представляют собой дифференциальные уравнения равновесия элемента, выделенного линиями скольжения. Интегрируя (6,16), находим

где величины, постоянные вдоль линий скольжения, но изменяющиеся при переходе от одной линии скольжения к другой. Решая систему уравнений (6.17) относительно получаем

Затем с помощью формул (6.11) определяем компоненты напряжений Следовательно, задача об определении напряжений при пластическом плоском деформированном состоянии сводится к интегрированию системы двух нелинейных дифференциальных уравнений (6.12) в частных производных при соответствующих граничных условиях.

Рис. 52

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление