Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Общие методы решения задач теории пластичности

Для большинства практических задач решения в замкнутом виде получить трудно, а иногда и просто невозможно из-за нелинейности приведенных дифференциальных уравнений в частных производных, Поэтому для решения нелинейных уравнений теории

пластичности применяют различные варианты метода последовательных приближений. Решения задач теории пластичности обычно сводятся к решению последовательности линейных задач, каждая из которых может быть интерпретирована как некоторая задача теории упругости (метод упругих решений). Такая идея впервые применена А. А. Ильюшиным [67, 69], а затем развита И. А. Биргером [9, 11, 12] и др. Рассмотрим наиболее общие методы решения задач теории пластичности.

Метод дополнительных нагрузок

Данный метод является одним из методов упругих решений. Он предложен А. А. Ильюшиным [67], а затем в несколько иной, модификации рассмотрен И. А. Биргером [9, 11].

Если в уравнениях Генки-Надаи (4.37) положить а также учесть, что то уравнения приводятся к виду

Уравнения (5.17) отличаются от обобщенного закона Гука дополнительными членами (они подчеркнуты). При эти уравнения выражают обобщенный закон Гука и определяют напряжения в упругом теле:

Тогда

Здесь дополнительные напряжения;

Между интенсивностями напряжений в упругом теле и дополнительными напряжениями, как видно из рис. 43, существует зависимость

Физический смысл равенства (5.21) ясен из обобщенной диаграммы (см. :

Рис. 43

Предполагая, что материал упругий, с помощью обобщенной диаграммы деформирования при данной интенсивности деформаций находим точку В. Поправка как бы возвращает расчетную точку на кривую деформирования (точка А), Напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия (5.1), которые с учетом (5.19) принимают вид

где компоненты объемной силы, а компоненты дополнительной объемной склы:

На поверхности тела напряжения должны удовлетворять граничным условиям (5.2), которые с учетом (5.19) записываются в виде

где составляющие поверхностной нагрузки, а составляющие дополнительной поверхностной нагрузки

Используя уравнения (5.18) и (5.19), а также уравнения Коши (5.3), после некоторых преобразований представим дифференциальные уравнения равновесия (5.23) с учетом (5.24) в такой форме:

Система уравнений (5.27) является синтезом статического, геометрического и физического анализов задачи. Уравнения (5.27) отличаются от уравнений Ламе в теории упругости наличием дополнительных членов, расположенных в правой части.

Аналогично можно преобразовать и граничные условия (5.25), которые учетом (5.26) имеют вид

Уравнения (5.27) совместно с уравнениями (5.28) позволяют решать задачу теории пластичности в перемещениях.

Если принять, что слагаемые, возникшие из-за наличия дополнительных членов, подчеркнутых в (5.17) и перенесенных в правую часть (5.27) и (5.28), известны, то получим как бы систему уравнений теории упругости относительно перемещений, но с дополнительными объемными и поверхностными силами, В первом приближении полагаем, что все

дополнительные объемные и поверхностные нагрузки равны нулю т. е. Тогда приходим к обычной задаче теории упругости в перемещениях. Уравнения (5.27) обращаются в уравнения Ламе теории упругости, а уравнения (5.28) — в граничные условия теории упругости в перемещениях. Пусть указанная задача теории упругости для заданных сил решена и найдены перемещения а следовательно, деформации и интенсивность деформаций По заданной диаграмме деформирования (см. рис. 43) с учетом упрочнения определяем а затем Зная перемещения и по формулам (5.24) и (5.26) находим дополнительные нагрузки которые уже в данном случае отличны от нуля. Снова решаем задачу теории упругости дополнительными нагрузками и определяем а следовательно, и диаграмме Деформирования при данном значении учетом упрочнения находим Затем снова определяем Решение необходимо продолжать до тех пор, пока данное приближение будет отличаться от предыдущего на бесконечно малую, наперед заданную величину.

Рассмотрим метод упругих решений в несколько иной форме записи. Если использовать зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций в форме, предложенной А. А. Ильюшиным, и учесть, что то уравнения (5.17) имеют вид

Тогда уравнения равновесия (5.1) с учетом (5.29) при условии, что все члены, содержащие функцию перенесены в правую часть, запишем таким образом:

Здесь

К уравнениям (5.30) необходимо добавить граничные условия, которые в данном случае в перемещениях имеют вид

где

Таким образом, если использовать зависимость предложенную А. А. Ильюшиным, то решение задачи теории пластичности при активной деформации и простом нагружении сводится к решению уравнений (5.30) при граничных условиях (5.32). Данный метод — метод упругих решений А. А. Ильюшина — также основан

на принципе последовательных приближений. В первом приближении полагают, что Тогда согласно (5.31) и (5.33) все дополнительные объемные и поверхностные силы равны нулю Уравнения (5.30) обращаются в уравнения Ламе теории упругости, а уравнения (5.32) в граничные условия теории упругости. Поэтому решение в первом приближении сводится к решению задачи теории упругости. Предположим, что решение данной задачи при заданных внешних силах известно . С помощью (5.29) находим напряжения как функции координат а следовательно, и интенсивность напряжений По диаграмме деформирования определяем а из аналитической зависимости А. А. Ильюшина — как функцию координат. Зная функцию и перемещения, по формулам (5.31) и (5.33) находим дополнительные нагрузки как функции координат. Далее решаем задачу теории упругости для объемных и поверхностных сил. Решением задачи теории упругости в этом случае являются перемещения во втором приближении и т. д.

Вычисления можно закончить тогда, когда разница между результатами двух последовательных приближений будет достаточно малой, т. е. окажется в пределах необходимо в точности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление