Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 5. ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ

1. Постановка задачи теории пластичности. Основные уравнения теории пластичности

Постановка задачи теории пластичности аналогична постановке задачи теории упругости, Допустим, что на тело действуют поверхностные (включая реакции) и объемные силы. Упругопластические свойства материала заданы диаграммой деформирования При этом требуется определить 17 неизвестных функций координат шесть компонент тензора напряжений шесть компонент тензора дефор маций три составляющие вектора перемещения ( до); интенсивность напряжений интенсив ность деформаций Для нахождения указанных функций теория пластичности располагает следующими уравнениями.

1. Уравнения, вытекающие из рассмотрения статики задачи:

а) дифференциальные уравнения равновесия

б) граничные условия, которые необходимо рассматривать со вместно с уравнениями равновесия

2. Уравнения, вытекающие из рассмотрения геометрии задачи:

а) зависимости между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещения (уравнения Коши):

б) и уравнения Сен-Венана (как следствие из уравнений (5.3)),

Как видно из приведенных уравнений, статические уравнения (5.1) и (5.2) и геометрические соотношения (5.3) и (5.4) в теории пластичности имеют тот же вид, что и в теории упругости. Иными будут только физические уравнения, т. е. уравнения связи между напряжениями и деформациями. Поэтому при решении упругопластических задач необходимо вместо обобщенного закона Гука записать физические уравнения по одной из теорий пластичности.

3. Уравнения, вытекающие из рассмотрения физики задачи: физические уравнения по теории малых упругопластических деформаций

При этом

где

или физические уравнения по теории пластического течения

При этом

где

Использование физических уравнений по теории пластического течения в форме (5.9) при решении конкретных упругопластических вадач связано большими математическими трудностями, так как они нелинейны и имеют довольно сложную структуру. Поэтому при решении задач, в которых развиваются значительные по сравнению с упругими пластические деформации, компонентами упругой деформации пренебрегают и пользуются уравнениями Сен-Венана-Мизеса, которые для жесткопластического тела имеют вид

В этом случае

где

При решении упругопластических задач с использованием физических уравнений (5.12) по теории пластического течения необходимо уравнения Коши (5.3) и, следовательно, уравнения неразрывности деформаций записать соответственно в виде

Таким образом, приведенная система уравнений представляет собой полную систему уравнений для решения упругопластических задач при активной деформации и нагружении простом или близком к простому. Как и в теории упругости, задачи теории пластичности могут решаться в перемещениях или напряжениях, а также смешанным способом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление