Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Принцип возможных изменений напряженного состояния. Принцип минимума дополнительной работы

Предположим, что тело находится в равновесии и занимает объем ограниченный поверхностью причем на одной части поверхности заданы поверхностные силы, а на

другой — перемещения Сопоставим действительное напряженное состояние в различных точках тела, которое характеризуется напряжениями со всеми остальными, но близкими напряженными состояниями (статически возможными), которые характеризуются напряжениями Данные напряжения удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия:

и условиям на поверхности:

Поскольку действительные напряжения и статически возможные напряжения удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, а также условиям на поверхности, то вариации напряжений также удов летворяют уравнениям равновесия:

и условиям на поверхности:

Работа вариаций внешних сил на возможных перемещениях (принимая возможные перемещения за действительные определяется по формуле

Преобразуя интеграл по поверхности в интеграл по объему с помощью формулы Гаусса — Остроградского и используя граничные

условия на поверхности, условия Коши, а также уравнения равно веси я, перепишем (4.33) в виде

Если использовать формулы

то выражение (4.34) для определения работы вариаций внешних сил на возможных перемещениях принимает вид

Здесь дополнительная работа для всего тела; дополнительная работа в бесконечно малом элементе,

Первое слагаемое представляет собой удельную потенциальную энергию изменения объема, а второе — удельную потенциальную энергию изменения формы, которая на рис. 41 показана в виде горизонтально заштрихованной площади, ограниченной диаграммой деформирования материала [102].

Выражение (4.35) является математической формулировкой так называемого принципа возможных изменений напряженного состояния тела, согласно которому сумма приращений всех внешних сил на перемещениях точек приложения этих сил равна приращению дополнительной работы всего тела. Для частного случая, когда объемные силы равны нулю заданные поверхностные силы на части поверхности постоянны, и, следовательно, их вариации равны нулю а перемещения на другой части равны нулю из формулы (4.35) следует, что Поскольку вторая вариация положительна, то

Таким образом, действительное напряженное состояние отличается от всех статически возможных состояний тем, что оно сообщает телу минимум дополнительной работы, т. е. из всех статически возможных напряженных состояний только для истинного напряженного состояния дополнительная работа для всего тела принимает минимальное значение.

Для упругой среды и принцип минимума дополнительной работы (4.36) переходит в принцип Кастильяно. Полученные вариационные уравнения

используются для приближенного решения задач в упругопластической области.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление