Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Теорема о разгрузке

Предположим, что в растянутом стержне (рис. 40) возникло напряжение <тупр. Пусть данному напряжению соответствует деформация На диаграмме растяжения это состояние изображено точкой В. Если частично разгрузить образец на величину

напряжений а, то в стержне останется напряжение а (точка С), которое определяется по формуле [102]

Напряжению а соответствует относительное удлинение которое осталось в образце после частичной разгрузки:

Здесь — уменьшение деформации при разгрузке. Поскольку разгрузка проходит по упругому закону, то Тогда Таким образом, чтобы вычислить оставшуюся деформацию в стержне после разгрузки, необходимо из полной деформации соответствующей наибольшему напряжению, вычесть упругую деформацию, соответствующую напряжению, на величину которого уменьшилось наибольшее напряжение.

Рис. 40

Данная закономерность, которая очевидна при одноосном растяжении, справедлива и в случае объемного напряженного состояния тела, но при этом должны выполняться условия, сформулированные в теореме о разгрузке. Эта теорема, доказанная А. А. Ильюшиным [69], утверждает, что перемещения точки (а также деформации и напряжения) в некоторый момент разгрузки равны разностям между их значениями в момент начала разгрузки и упругими перемещениями (соответственно деформациями и напряжениями), которые возникли бы в ненагруженном теле под действием внешних сил, равных разностям нагрузок до и после разгрузки. При этом нагрузка и разгрузка должны быть простыми. Предположим, что для данного тела, находящегося под действием внешних объемных и поверхностных сил, задача пластичности решена, т. е. определены напряжения деформации и перемещения Найденные напряжения, соответствующие началу разгрузки, удовлетворяют уравнениям равновесия (1.135) и граничным условиям на поверхности (1.11). После уменьшения нагрузки на на тело действуют внешние силы

под влиянием которых в теле возникают напряжения соответствующие моменту конца разгрузки и удовлетворяющие уравнениям равновесия:

а также граничным условиям на поверхности:

После вычитания из уравнений равновесия (1.135), соответствующих моменту начала разгрузки, уравнений равновесия (4,15), соответствующих моменту конца разгрузки, находим

Аналогично получаем выражения для граничных условий на поверхности:

Поскольку разгрузка происходит в упругой области, то справедливы уравнения Ламе, которые с учетом (4.17) имеют вид

Уравнения совместно с граничными условиями (4.18) имеют единственное решение, определяемое методами теории упругости: для перемещений

для деформаций

для напряжений

Из соотношений (4.20)-(4.22) следует, что перемещения, деформации и напряжения, соответствующие некоторому моменту разгрузки, определяются как разности их значений в момент начала разгрузки подсчитанных по теории пластичности при объемных и поверхностных силах, и значений подсчитанных потеории упругости при объемных и поверхностных силах. В случае полной разгрузки в теле остаются перемещения деформации и напряжения определяемые как разность соответственно между перемещениями, деформациями и напряжениями, найденными по теории пластичности для заданных внешних сил, и перемещениями для этих же сил, вычисленными по теории упругости:

Приведенные зависимости справедливы в предположении, что в процессе разгрузки материал вновь не выходит за пределы упругости [69],

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление