Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

1. Теорема о простом нагружении

1 Приведенные законы и теории пластичности в условиях активней деформации справедливы при простом нагружении тела, т. е. для случая, когда направляющий тензор напряжений в любой точке тела остается постоянным (несмотря на то что в разных точках тела он различный). Возникает вопрос, какими должны быть внешние нагрузки (объемные и поверхностные и как они должны увеличиваться, чтобы направляющий тензор на

пряжений оставался в данной точке тела постоянным. В случае однородного напряженного состояния нагружение будет простым, если внешние нагрузки возрастают с момента их приложения пропорционально одному общему параметру, т. е.

Для неоднородного напряженного состояния тела произвольной формы А. А. Ильюшиным [69] сформулирована теорема, согласно которой нагружение тела произвольной формы произвольными внешними силами, возрастающими пропорционально одному общему параметру (4.1), будет простым тогда, когда зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций можно представить в виде степенной функции

где постоянные материала.

Действительно, предположим, что для несжимаемого материала для какого-то определенного значения к (например, задача пластичности решена, т. е. найдены все компоненты тензора напряжений все компоненты тензора деформаций следовательно, найдены интенсивность напряжений и интенсивность деформаций а также перемещения которые тождественно удовлетво ряют следующим условиям:

уравнениям равновесия

граничным условиям на поверхности

условиям Коши

(см. скан)

где пока неизвестная функция Согласно уравнениям Коши с учетом (4.10) имеем

Если внешние силы определяются равенствами (4.1), то, подставляя (4.9) в уравнения равновесия (4.3) и граничные условия (4.4), после сокращения на X получим тождества (4.4) и (4.3). Аналогично, если (4.11) и {4.9) соответственно подставить в выражения для интенсивности деформаций

и интенсивности напряжений

то получим

С учетом зависимостей (4.9) и (4.12), физические уравнения (3.63) после сокращения на превращаются в тождества (4.6), а условия на поверхности (1.14) после сокращения на X — в тождества (4.4). Остается уравнение (4.2), удовлетворив которому, убедимся в том, что (4.9)- (4.11) есть решение той же задачи пластичности при произвольных силах (4.1), пропорциональных одному параметру k. Из (4.2) находим

Это равенство станет тождеством при условии

Следовательно, компоненты напряжений, перемещений и деформаций, определяемые формулами (4.9) — (4.11), являются решениями задачи пластичности, при этом нагружение согласно (4.9) является простым.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление