Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Уравнения, описывающие пластическое состояние изотропного материала

Для расчета элементов конструкций, работающих в условиях сложного напряженного состояния, необходимы физические уравнения связи между компонентами напряжений и компонентами деформаций или скоростей деформаций, которые устанавливаются по соответствующим теориям пластичности. В настоящее время предложены различные теории пластичности [22, 68, 69, 77, 81, 87, 101, 102, 141, 142, 168, 190, 200, 224, 270]. Здесь приведены лишь основные теории, широко используемые в инженерных расчетах.

Теория пластического течения

Теория пластического течения устанавливает физические уравнения связи между компонентами напряжений и компонентами скоростей пластических деформаций. Физические уравнения по этой теории для плоской задачи впервые были получены Сен-Венаном [190], а для пространственной задачи — М. К. Леви [87] и позже Мизесом [270].

Теория пластического течения основана на следующих допущениях.

1. Деформируемое тело является изотропным.

2. Относительное изменение объема является упругой деформацией, пропорциональной среднему напряжению,

Коэффициент пропорциональности К тот же, что и в пределах упругости:

Из соотношения

заключаем, что

Используя ассоциированный закон течения (3.38), представим компоненты приращения пластической деформации в виде

Умножая обе части равенства (3.49) на находим [102]

Таким образом, при пластических деформациях объем не изменяется. Следовательно, тензор приращения пластических деформаций представляет собой девиатор. Тогда

3. Предполагается, что для данного материала интенсивность напряжений является функцией интеграла от интенсивности приращений пластических деформаций:

Рис. 38

Функция определяется по диаграмме растяжения материала. Для этого необходимо предварительно преобразовать функцию в функцию (рис. 38). Действительно, для одноосного растяжения имеем

Тогда, с учетом формул (1.40) и (1.107), находим [102]

Кривая выражает зависимость между интенсивностью напряжений и параметром Одквиста [138], т. е.

Приведенные законы пластического деформирования позволяют получить уравнения пластического состояния материала.

Используя условие пластичности (3.25), а также соотношения (3.40) и (1.39), имеем

Тогда, согласно ассоциированному закону (3.38), получаем

Уравнения (3.55) показывают, что компоненты приращения пластических деформаций пропорциональны компонентам девиатора напряжений.

Добавляя к компонентам пластических деформаций, определяемых (3.55), компоненты упругих деформаций, определяемых (3.22),

находим формулы для определения компонент приращений полных деформаций:

Уравнения (3.56) являются основными уравнениями теории пластического течения и называются уравнениями Прандтля — Рейсса [172, 283]. При этом зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью приращения деформаций принимается в виде (3.52). Уравнения (3.56) можно представить в сокращенной форме:

В тех случаях, когда приращениями упругих деформаций пренебрегают по сравнению с приращениями пластических деформаций» имеем

или в сокращенной форме

Разделив обе части уравнений (3.57) на с учетом получим физические уравнения связи между скоростями деформаций и компонентами девиатора напряжений:

или в сокращенной форме

где интенсивность скоростей деформаций, определяемая формулой (1.116). Компоненты тензора напряжений можно выразить через компоненты скоростей деформаций с помощью уравнений Сен-Венана - Леви — Мизеса:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление