Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Ассоциированный закон течения

Математически ассоциированный закон течения в сокращенной форме записывается так:

Здесь множитель Лагранжа; пластический потенциал. Зависимости (3.38) называют ассоциированным законом пластического течения, так как последнее связывается (ассоциируется) 6 условием текучести. Ассоциированный закон позволяет обобщать уравнения пластичности путем рассмотрения поверхностей текучести. Если пластическое течение рассматривается в пространстве главных напряжений, то соотношения (3.38) имеют вид [77]

Уравнение (3.38) получено из условия относительного максимума функции приращения пластической работы которое записывается с помощью множителей Лагранжа:

Поскольку — из ассоциированного закона течения (3.38) следует нормальность вектора к поверхности пластичности (нагружения) (рис. 37, а), так как угол а между векторами острый. Геометрически это можно представить следующим образом. Пусть поверхность выпукла, т. е. лежит по одну сторону касательной плоскости (рис. 37, а), тогда условие (3.35) выполняется, если вектор перпендикулярен поверхности пластичности (нагружения). В противном случае всегда найдется вектор — составляющий с вектором тупой угол (штриховая линия на рис. 37, а).

Если бы поверхность пластичности (нагружения) была невыпуклой, то независимо от направления вектора всегда можно было бы подобрать точку А так, чтобы векторы составляли тупой угол (рис, 37, б). Следовательно, условие (3.35) выполняется в том случае, когда поверхность пластичности (нагружения) выпуклая, а вектор перпендикулярен данной поверхности.

Рис. 37

Подставляя (3.38) в выражение для интенсивности приращений пластических деформаций (1.107), получаем формулу для определения параметра Лагранжа [102]:

Из данного соотношения следует, что Согласно (3.37) и (3.38) при нагружении

при разгрузке

Переходя из пластического состояния в упругое, вектор проходит через нейтральную плоскость (касательную плоскость к поверхности пластичности); при этом выполняются равенства

Конец вектора напряжений движется по поверхности пластичности. Такой процесс нагружения называют нейтральным; в этом случае законы упругости и пластичности совпадают, что является условием непрерывности. Для идеально пластического материала поверхность пластичности (нагружения) совпадает с поверхностью начала пластичности. В этом случае нейтральное нагружение является основным типом нагружения, которое сопровождается приращением пластических деформаций. При нагружении

при разгрузке

Полученные законы справедливы для гладкой (регулярной) поверхности пластичности, а для сингулярной поверхности пластичности, т. е. поверхности, имеющей ребра или вершины данные законы не выполняются. В этом случае соотношение (3.38) необходимо дополнить так, чтобы определить пластическое течение на стыках [77]. Если ребро образовалось пересечением двух поверхностей пластичности (см. рис. 37, в), уравнения которых имеют вид

то для точек ребра условие относительного максимума функции приращения пластической работы записывается следующим образом:

Откуда, следуя Прагеру [157] и Койтеру [81], течение на ребре является линейной комбинацией течений слева и справа от ребра (см. рис. 37, в):

Приращение пластических деформаций развивается по направлению, лежащему внутри угла, образованного нормалями к двум смежным граням (см. рис. 37, в). Вопросы, связанные с развитием таких особенностей на поверхности пластичности (нагружения), изложены в работах [77, 102, 123, 273, 274]. Схему Прагера — Койтера необходимо рассматривать как удобную идеализированную аппроксимацию.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление