Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ МАТЕРИАЛА

Для определения напряженного и деформированного состояния твердого тела, нагруженного за пределами упругости, необходимы уравнения пластического состояния, связывающие напряжения и деформации. Полностью задача о построении таких уравнений в общем случае не решена из-за сложности процесса пластического деформирования, хотя предложено много различных теорий [66—69, 132, 141, 142, 155, 224]. Рассмотрим основные уравнения пластического состояния, широко применяемые в расчетах элементов конструкций о учетом пластических деформаций.

1. Диаграммы деформирования материала. Методы их построения и схематизация

Для установления связи между напряжениями и деформациями в условиях линейного напряженного состояния на основании эксперимента строят диаграмму растяжения в координатах (рис. 32, а), Причем напряжения и деформации определяют как

При этом не учитывается изменение первоначальной площади поперечного сечения образца и предполагается равномерное деформирование образца по его длине График зависимости между напряжением и деформациями, построенный без учета изменения площади поперечного сечения испытываемого образца, называется условной диаграммой растяжения (рис. 32, а). Поскольку площадь поперечного сечения образца увеличением деформации непрерывно уменьшается, а равномерность деформирования по длине образца нарушается, то необходимо строить не условные, а истинные (действительные) диаграммы растяжения. Для построения истинной диаграммы растяжения до образования шейки необходимо растягивающую силу относить к действительной площади поперечного сечения образца:

Зависимость от определяется из условия неизменяемости объема элемента образца при его деформации. На основании этого допущения записываем [101]

Выражение (3.2) с учетом (3.3) позволяет определить зависимость между действительным и условным о напряжениями:

Рис. 32 (см. скан)

Действительная диаграмма растяжения располагается выше условной и отличается от условной только по оси ординат.

Приращение осевой деформации при растяжении стержня где I — текущая длина стержня; бесконечно малое ее изменение. Суммирование приводит к так называемой логарифмической деформации

Здесь длина стержня до деформации; удлинение; обычная деформация стержня. Из графика зависимости (3.5), показанного на рис. 32, б, следует, что при различие между логарифмической и обычной деформациями незначительно. При

оно составляет примерно 10%. Поскольку значение обычной деформации, при которой образуется шейка, не превышает 10—15%, то до образования шейки логарифмическую деформацию можно считать равной обычной [99, 102]. Начало образования шейки соответствует на действительной диаграмме растяжения в координатах точке, для которой величина под касательной равна единице (рис. 32, в). После того как образовалась шейка, напряженное состояние в образце становится неодноосным и неоднородным. В этом случае нужно строить только действительную диаграмму деформирования на основе анализа напряженного состояния в шейке.

Задача о напряженном состоянии в шейке растянутого образца из изотропного материала приближенно решена Н. Н. Давиденковым и Н. И. Спиридоновой [40]. При ее решении принимались следующие допущения: 1) материал несжимаемый логарифмические деформации (окружная и радиальная) в точках наименьшего поперечного сечения шейки равны между собой и постоянны; 3) кривизна траектории одного из главных напряжений в некоторой точке наименьшего поперечного сечения шейки на расстоянии от оси (рис. 32, г) определялась по формуле

где радиус наименьшего поперечного сечения шейки; радиус кривизны контура шейки в точке наименьшего поперечного сечения. На основании принятых допущений а следовательно, напряженное состояние в шейке растянутого образца, изготовленного из изотропного материала, характеризуется следующими компонентами напряжений:

Растягивающая сила определяется из выражения

Интенсивность напряжений в точках наименьшего поперечного сечения шейки вычисляется по формуле

Согласно первым двум допущениям логарифмическая осевая деформация в точках наименьшего поперечного сечения шейки равна

удвоенной логарифмической радиальной деформации постоянна в данном сечении, Тогда по формуле (1.70) интенсивность логарифмических деформаций в точках наименьшего поперечного сечения шейки является также постоянной величиной, т. е.

С учетом формул (3.3) и (3.5)

Зависимости (3.10) и (3.12) позволяют построить действительную диаграмму деформирования в координатах интенсивность логарифмических деформаций интенсивность напряжений

Решения задачи о напряженном состоянии в точках наименьшего поперечного сечения шейки растянутого образца приведены в работах [52, 101, 102]. Зависимость от может быть определена по результатам испытания на растяжение, тем более, что проведение последних проще, чем испытания при сложном напряженном состоянии. Выражения для интенсивностей напряжений и деформаций при одноосном напряженном состоянии с учетом формул (1.70) и (1.37) имеют вид

По формулам (3.13) и диаграмме растяжения материала можно подсчитать а также построить соответственно диаграмму деформирования. Графоаналитический метод построения диаграммы деформирования по диаграмме растяжения приведен в работе [153].

Если материал несжимаемый или то из формул (3.13) следует, что диаграмма деформирования материала совпадает с диаграммой растяжения. Гипотеза о существовании диаграммы деформирования, не зависящей от вида напряженного состояния, выдвинута Людвиком [95].

Для аналитического описания зависимостей между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций за пределами упругости условные и действительные диаграммы деформирования (так же, как и диаграммы растяжения) схематизируются, т. е. отдельные участки заменяются кривыми или прямыми линиями, имеющими достаточно простое математическое описание и хорошо совпадающими с экспериментально полученными диаграммами. Примеры аппроксимации некоторых диаграмм деформирования приведены на рис. 33, а-ж. Схематизированная диаграмма деформирования с площадкой текучести и линейным упрочнением показана на рис, 33, а. Аналитическая зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций для такой диаграммы имеет вид

(кликните для просмотра скана)

Здесь интенсивность деформаций, при которой в материале в данной точке возникают пластические деформации; интенсивность деформаций, при которой на диаграмме деформирования заканчивается площадка текучести и начинается область упрочнения; модуль упрочнения. Используя формулы (3.13), находим зависимости между и соответствующими величинами при одноосном растяжении [99, 102]:

При или т. е. диаграмма деформирования совпадает с диаграммой растяжения; в этом случае

Схематизированная диаграмма деформирования при отсутствии площадки текучести или представлена на рис. 33, б. При этом зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций описывается уравнениями (3.14) — (3.16). Схематизированная диаграмма деформирования для идеально упругопластического тела показана на рис. Если и деформациями 8 можно пренебречь (т. е. принять модуль упругости равным бесконечности), то получим диаграмму деформирования, приведенную на рис. При отсутствии упрочнения ее называют диаграммой деформирования для жестко-пластического тела. Диаграмма деформирования с площадкой текучести и степенным упрочнением (рис. 33, д) описывается следующими уравнениями:

на участке на участке

на участке где показатель степени, , Диаграмма деформирования, в которой отсутствует площадка текучести, аппроксимируется степенной функцией не только в области упрочнения, но и во всем интервале изменения деформаций:

Такая схематизация диаграммы деформирования не полностью от ражает истинную картину деформирования материала. Некоторые параметры схематизированных диаграмм растяжения для материалов с линейным упрочнением приведены в табл. 10 [193], а для материалов со степенным упрочнением — в табл. 11 [101, 110],

(см. скан)

Очень часто зависимость интенсивности напряжений от интен сивности деформаций записывают, как это видно из рис. 33, ж, в форме, предложенной А. А. Ильюшиным [69]:

где безразмерная функция интенсивности деформаций, которую называют функцией Ильюшина; При напряжениях, меньших предела пропорциональности материала, а за пределами упругости Следовательно, за пределами упругости зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций носит нелинейный характер. Диаграмму деформирования можно задавать в виде таблицы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление