Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Постановка задачи теории упругости в напряжениях и приближенный метод ее решения

Если за основные неизвестные принять напряжения, то для их нахождения необходимо получить соответствующие уравнения. Выразив компоненты тензора деформаций через компоненты тензора напряжений о., по закону Гука (2.8) и подставив их в уравнения сплошности (1.149), с учетом (2.22) получим дифференциальные уравнения совместности деформаций в напряжениях в декартовой системе координат:

Уравнения (2.30) называют уравнениями Бельтрами — Митчелла. Таким образом, для решения задачи теории упругости в

напряжениях необходимо проинтегрировать уравнения (2.22) и (2.30), а входящие в общие решения этих уравнений произвольные функции определить из условий на поверхности (1.11). При решении многих практических задач пренебрегают действием объемной силы, тогда уравнения (2.30) записываются так:

Приближенное решение системы уравнений (2.31) ищем в виде

где функции координат, произвольные постоянные, определяемые из условий При этом

Такое приближенное решение считается вариационным методом Кастильяно, базирующимся на вариационном принципе, согласно которому действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных тем, что для нее полная энергия системы имеет минимальное значение.

Уравнения Бельтрами — Митчелла (при отсутствии объемных сил) в цилиндрической системе координат записываются таким образом:

где

При решении задач теории упругости может возникнуть вопрос о том, является ли полученное решение единственным (однозначным). Теорема о единственности утверждает, что для тела, находящегося в естественном состоянии, решение задачи теории упругости единственно, если справедлив принцип независимости действия сил. Предположим обратное, что для тела, находящегося под действием объемных и поверхностных сил, возможны два решения:

Оба эти решения должны удовлетворять уравнениям равновесия

и условиям на поверхности

Вычитая почленно соответствующие уравнения, получаем новую систему уравнений равновесия:

и условия на поверхности:

где разности напряжений принимаются за новую систему напряжений. Полученная новая система уравнений справедлива при отсутствии объемных и поверхностных сил. Поскольку принято, что тело находится в естественном ростоянии, эти напряжения должны быть равны нулю:

Следовательно, при заданных объемных и поверхностных силах, если тело находится в естественном состоянии и выполняется принцип независимости действия сил, решение задачи теории упругости является единственным. Аналогично доказывается единственность решения задачи теории упругости, когда на поверхности тела заданы перемещения.

Основными методами решения задачи теории упругости являются следующие методы.

1. Прямой метод, заключающийся в непосредственном интегрировании уравнений теории упругости совместно с заданными граничными условиями на поверхности. Приведенные в работах [6, 65, 145, 153—157] точные решения исходных уравнений линейной теории упругости из-за больших математических трудностей получены для ограниченного класса задач. Поэтому при решении задач теории упругости приходится использовать приближенные решения.

2. Обратный метод, заключающийся в том, что сначала задают напряжения или перемещения как функции координат, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям, а затем определяют, каким внешним нагрузкам соответствует рассматриваемая система перемещений или напряжений.

3. Полуобратный метод Сен-Венана, заключающийся в том, что при решении задачи теории упругости делают допущения о виде некоторых функций напряжений или перемещений. При этом

упрощаются дифференциальные уравнения; решения их становятся более простыми и менее трудоемкими. Полуобратный метод является одним из наиболее эффективных методов решения задач теории упругости.

Приведенные физические урлвнения (обобщенный закон Гука), выражающие зависимость между напряжениями и деформациями, справедливы только в пределах упругости» когда не возникают пластические деформации.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление