Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Постановка задачи теории упругости в перемещениях и приближенный метод ее решения

Если принять за основные функции неизвестные перемещения, то решение задачи теории упругости можно свести к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений в перемещениях. Действительно, заменяя в дифференциальных уравнениях равновесия (движения) (2.22) компоненты напряжений через компоненты деформаций согласно обобщенному закону Гука (2.24), а затем с помощью геометрических уравнений Коши (2.23) представляя компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем три дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях:

где объемная деформация; оператор Лапласа.

Уравнения (2.25) — уравнения Ламе — получены как синтез статического, геометрического и физического решения задачи. Перемещения и, должны удовлетворять граничным условиям на поверхности (1.14), которые с учетом обобщенного закона Гука (2.8) и условий Коши (2.23) принимают вид

Уравнения (2.25) совместно с уравнениями (2.26) позволяют решать задачу теории упругости в перемещениях. При решении многих

практических задач в пределах упругости пренебрегают действием объемных сил. Тогда уравнения Ламе в декартовой системе координат записываются следующим образом:

Приближенное решение уравнений (2.27) для компонент упругого перемещения имеет вид

где — функции координат, точно удовлетворяющие граничным условиям. Данные компоненты составляют как бы основное поле перемещений. Слагаемые, следящие за этими функциями и находящиеся под знаками сумм, определяют корректирующие поля перемещений. Функции координат необходимо выбирать так, чтобы они удовлетворяли граничным условиям в перемещениях. Постоянные определяются из условий минимума потенциальной энергии деформаций для действительно напряженного состояния:

Здесь

Такой метод приближенного решения можно считать вариационным методом Кастильяно. При решении уравнений (2.27) пользуются также методами Папковича — Нейбера [145], Кельвина, Бусинеска — Галеркина и др.

Дифференциальные уравнения (2.27) в цилиндрической системе координат имеют вид

где

Постановка задачи теории упругости в перемещениях при граничных условиях состоит в том, чтобы найти три функции перемещений, которые удовлетворяют внутри области У, занимаемой телом, дифференциальным уравнениям равновесия в перемещениях (2.25), а на границе области — граничным условиям (2.26). Динамическая задача ставится аналогично, однако перемещения зависят не только от координат, но и от времени т. е. функции должны удовлетворять дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, граничным и начальным условиям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление