Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ТОЧКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА. УСЛОВИЯ НАЧАЛА ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ МАТЕРИАЛА

1. Теория связи напряжений и деформаций в точке деформируемого тела (физические уравнения)

Приведенные в первой главе формулы и уравнения справедливы для любой сплошной среды, независимо от того, является она упругой, пластической или находится в любом другом физическом состоянии. Для различных физических состояний сплошной среды физические уравнения различны. Рассмотрим среды или тела, для которых зависимости между деформациями и напряжениями носят линейный характер, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука. По упругим свойствам тела разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотропные. Тела, в которых упругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а тела с различными упругими свойствами в различных точках тела — неоднородными. Неоднородность непрерывная, когда упругие свойства тела от точки к точке изменяются непрерывно, и дискретная, когда упругие свойства тела от точки к точке испытывают разрывы или скачки. Тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными, а тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, различны,— анизотропными. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным [91]. В случае однородного упругого тела, обладающего анизотропией общего вида, зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в точке линейная;

Предположим, что определитель шестого порядка из коэффициентов А не равен нулю. Следовательно, уравнения (2.1) относительно разрешимы:

где коэффициенты, которые в случае неоднородного тела являются функциями координат Обычно их называют упругими характеристиками. Если тело однородное, то не зависят от координат и называются упругими постоянными. Очень часто называют коэффициентами деформаций, модулями упругости. Уравнения (2.1) и (2.1а) показывают, что для каждого однородного анизотропного тела число упругих постоянных равно 36, Зависимости (2.1) и (2.1а) называют обобщенным законом Гука.

Из законов термодинамики следует существование положительной функции для которой справедливы соотношения [91]

где упругий потенциал в рассматриваемой точке. Интегрируя уравнения (2.2), получаем выражение для упругого потенциала в виде однородной квадратичной функции деформаций:

или с учетом (2.1)

Упругий потенциал всего тела где - объем тела; элементарный объем.

Если в выражении (2.3) для потенциальной энергии перейти к напряжениям, то имеем

При этом справедливы формулы Кастильяно:

Дифференцируя составляющие напряжений (2.2) по соответствующим деформациям, а составляющие деформаций (2.5) — по соответствующим напряжениям, получаем

Из равенств (2.6) и (2.7) с учетом (2.1) и (2.1а) следует, что Таким образом, для однородного тела в общем случае анизотропии число упругих постоянных равно 21.

Если в каждой точке тела имеется плоскость упругой симметрии такая, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости, являются эквивалентными в отношении упругих свойств, то число независимых упругих постоянных сокращается до 13 [91]. Если в каждой точке тела имеются три ортогональные плоскости упругой симметрии (тело ортотропное), то число неизвестных упругих постоянных уменьшается до девяти. У трансверсально-изотропного тела существует плоскость упругой изотропии, так что все направления, перпендикулярные ей, эквивалентны, значит, число упругих постоянных равно пяти. Изотропное тело характеризуется эквивалентностью всех направлений, т. е. любая плоскость есть плоскость упругой симметрии. В этом случае число неизвестных независимых упругих постоянных равно двум, поскольку

Между упругими постоянными существует зависимость Тогда закон Гука (2.1а) в декартовой системе координат записывается в виде

Если принять для компонент деформаций обозначения (1.51), а для компонент напряжений — (1.4), то зависимость (2.8) можно представить в сокращенной форме

Решая равенства (2.8) относительно напряжений, получаем

Закон Гука в цилиндрической и сферической системах координат соответственно имеет вид

где — объемная деформация. Из уравнений (2.9) получаем следующие зависимости:

Закон Гука (2.9) и (2.8) можно представить и в иной форме. На пример,

Так как

т. е. среднее напряжение в точке упругого тела пропорционально объемной деформации в этой же точке. Формулы (2.11) и (2.11а) выражают закон упругого изменения объема. Объемная деформация вычисляется по формуле

Уравнения (2.9) в сокращенной форме имеют вид

где . Такая запись закона Гука устанавливает зависимость между компонентами девиатора напряжений и компонентами девиатора деформаций В пределах упругости компоненты девиатора напряжений пропорциональны компонентам девиатора деформаций, причем коэффициентом пропорциональности является удвоенная величина модуля сдвига, т. е.

или

Формула (2.14) выражает закон изменения формы, который часто формулируют так: компоненты напряжений и деформаций, соответствующие изменению формы, пропорциональны друг другу. Выражения закона Гука через интенсивности напряжений и деформации имеют вид

Удельная потенциальная энергия в окрестности рассматриваемой точки в случае изотропного тела записывается через компоненты деформаций и напряжений:

Указанную энергию можно представить в виде суммы энергии, расходуемой на изменение объема, и энергии, расходуемой на изменение формы:

где

Согласно (2.14) девиатор напряжений прямо пропорционален девиатору деформаций:

Зависимость (2.19) с учетом (2.14) может быть переписана следующим образом:

Поскольку направляющий девиатор напряжений (см. направляющий девиатор деформаций (см. (1.76)), то из (2.20) находим

Следовательно, в каждой точке упругого тела направляющие девиаторы напряжений и деформаций совпадают.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление