Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Дифференциальные зависимости между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещения (геометрические уравнения)

Компоненты тензора деформаций зависят от закона изменения компонент вектора смещения в окрестности рассматриваемой точки. Предположим, что точка до деформации имеющая координаты после деформации заняла положение А. Полное перемещение точки характеризуется отрезком полного перемещения проекции которого на координатные оси называют компонентами вектора перемещения (рис. 26, а). Так как компоненты вектора перемещения для разных точек различные, то они являются функциями координат:

Полное перемещение точки определяется по формуле

Очень часто компоненты вектора перемещения записывают в виде матрицы-столбца:

Выделим мысленно из твердого тела около заданной точки бесконечно малый параллелепипед с ребрами (рис. 26, б)

Рис. 26 (см. скан)

При деформации твердого тела данный параллелепипед, деформируясь, переместится в новое положение. На рис. 26, в показана одна из проекций параллелепипеда до и после деформации. Относительные удлинения ребер начальные длины которых соответственно равны в пренебрежении величинами высшего порядка малости определяются таким образом:

Углы поворота ребер в плоскости в обозначениях, приведенных на рис. 26, в, вычисляются по формулам

Поскольку учитывая, что в силу малости деформации относительный сдвиг (уменьшение прямого угла на угол записываем в виде

После круговой подстановки получаем дифференциальные зависимости между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений в декартовой системе координат:

Данные дифференциальные уравнения называют зависимостями Коши. Используя обозначения компонент деформаций, приведенные в табл. 6 (третья строка), уравнения Коши представим в виде

В сокращенной форме уравнения (1.145) записывают так:

где . Уравнения Коши в цилиндрических и сферических координатах соответственно имеют вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление