Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Дифференциальные уравнения равновесия. Граничные условия на поверхности (статические уравнения)

Напряженное состояние в точке твердого, как упругого, так и упругопластического, тела характеризуется тензором напряжений (1.2). В общем случае неоднородного напряженного состояния тела компоненты тензора напряжений являются функциями координат:

которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия [6, 77, 91, 101, 132].

Дифференциальные уравнения равновесия выводятся из рассмотрения равновесия бесконечно малого параллелепипеда размерами выделенного из твердого тела, которое находится в условиях неоднородного напряженного состояния (рис. 22). Проектируя все силы, действующие по граням параллелепипеда, на декартовые координатные оси и пренебрегая бесконечно малымв величинами высшего порядка, получаем

проекции объемных сил, отнесенных к единице объема. Уравнения (1.135) называют дифференциальными уравнениями равновесия. Вычисляя сумму моментов всех сил, действующих на бесконечно малый параллелепипед относительно координатных осей х, у,г, и пренебрегая величинами высшего порядка малости, находим

Таким образом, для определения поля напряжений твердого» деформируемого тела необходимо знать шесть функций координат:

Если к объемным силам добавить инерциальные члены, равные плотности материала, умноженной на проекции ускорения с обратным знаком, которые, как правило, выражают через проекции перемещения то получим уравнения движения

Рис. 22

Рис. 23

При решении многих задач механики твердого деформируемого тела часто пользуются не декартовой системой координат, а цилиндрической или сферической. Дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрической системе координат выводятся из рассмотрения равновесия элементарного объема (рис. 23) и имеют следующий вид:

Дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого элемента (рис. 24) в сферической системе координат записываются таким образом:

Рис. 24

Рис. 25

При решении задач теории упругости, пластичности и ползучести часто объемными силами пренебрегают. Используя обозначения компонент напряжений, приведенные в табл. I (третья строка), преобразуем дифференциальные уравнения равновесия (1.135) к виду

или в сокращенной записи в

Дифференциальные уравнения равновесия справедливы для любой точки тела внутри данного тела, а для точек тела на его внешней границе можно записать соотношения, аналогичные (1.11). Эти соотношения указывают на связь между компонентами приложенной к телу на границе внешней нагрузки и компонентами напряжений внутри тела возле рассматриваемой точки (рис. 25).

Если принять для компонент тензора напряжений обозначения, приведенные в табл. 1 (третья строка), а для косинусов углов — обозначения, приведенные в табл. 5, то формулы (1.11) могут быть переписаны в виде

Уравнения (1.142) являются статическими граничными условиями. Если на какой-то части поверхности тела заданы перемещения, то такие граничные условия называются кинематическими, а если для граничных точек тела в какой-то момент времени заданы, например, скорости или ускорения, то граничные условия называются динамическими.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление