Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

РАЗДЕЛ I. ЗАКОНЫ, УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

ГЛАВА 1. ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Теория напряжений

Для того чтобы правильно оценить прочность проектируемого элемента конструкции, необходимо знать все компоненты напряжений в каждой точке. Напряженное состояние в точке твердого деформируемого тела характеризуется девятью компонентами напряжений.

Компоненты напряжений

Полное напряжение на произвольно ориентированной площадке с нормалью (рис. 1) определяется выражением

где вектор внутренней силы в рассматриваемом сечении данного тела на элементарной площадке Через любую точку звердого тела можно провести бесчисленное множество площадок, ориентированных в пространстве. Полные напряжения на площадках, ориентированных в разных направлениях, в данной точке нагруженного тела будут различными.

Рис. 1

Полное напряжение, действующее в данной точке на площадке с нормалью как правило, не совпадает с нормалью, поэтому кроме величины напряжения необходимо знать его направление в пространстве. В связи с этим вместо полного напряжения удобнее рассматривать его составляющие по координатным осям

Рис. 2 (см. скан)

(см. рис. 1). Полное напряжение на данной площадке определяется так:

где проекции полного напряжения на площадке с внешней нормалью соответственно на координатные оси х, у, z. В сечениях, параллельных координатным плоскостям, индекс можно заменить индексом координатной оси, нормальной к сечению. Например, если в сечении, параллельно плоскости (рис. 2, а), внешняя нормаль площадки совпадает по направлению с координатной осью х, то компоненты полного напряжения. Компонента направленная ортогонально к рассматриваемому сечению, называется нормальным напряжением, а компоненты лежащие в плоскости сечения, — касательными напряжениями. Если внешняя нормаль совпадает с координатной осью у (рис. 2,б), то компоненты полного напряжения. Если внешняя нормаль совпадает с координатной осью (рис. 2, в), то компоненты полного напряжения.

Таким образом, из девяти компонент напряжений на трех площадках, проведенных через данную точку параллельно координатным плоскостям, три компоненты — являются нормальными напряжениями, а шесть — касательными. Нормальное напряжение считается положительным, если оно вызывает растяжение, и отрицательным, если вызывает сжатие. Касательные напряжения положительны, если их направления совпадают с положительным направлением осей координат, а растягивающее нормальное напряжение на этой грани совпадает по направлению действия с положительным направлением соответствующей координатной оси. Касательные напряжения также положительны, если их направления противоположны положительному направлению соответствующей координатной оси, а растягивающее нормальное напряжение на этой грани противоположно по направлению действия положительному направлению соответствующей координатной оси. Обычно для изображения напряженного состояния

Рис. 3 (см. скан)

в точке твердого тела в окрестности данной точки плоскостями, перпендикулярными координатным осям, выделяют элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда, предполагая, что длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю. На каждой грани при этом действуют соответствующие напряжения (на рис. 3 показаны их компоненты только на видимых гранях). На практике применяются различные системы обозначений компонент напряжений в точке (рис. 3, а-в и табл. I) [6,13, 88]. В данном пособии используется система обозначений


Таблица 1 (см. скан)

компонент напряжений в точке табл. 1 — система II). Первый индекс указывает направление нормали к площадке, а второй — направление, в котором действует это напряжение; если индексы совпадают, то второй индекс обычно отбрасывают.

Рис. 4 (см. скан)

При решении задач теории упругости, пластичности и ползучести кроме декартовой используются и другие системы координат, в первую очередь цилиндрическая и сферическая. Элементарные объемы,

выделенные из твердого деформируемого тела в различных координатных системах, показаны на рис. 4. Все компоненты напряжений выбраны положительными. Обозначения компонент напряжений приведены в табл. 2.

Таблица 2 (см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление