6. Векторное представление процесса нагружения в точке деформируемого тела

Изменение напряженного состояния в точке тела с течением времени называют процессом нагружения тела в точке [69]. Процесс нагружения в данной точке деформируемого тела характеризуется шестью компонентами тензора напряжений, заданных в виде функций времени:

В этом случае процесс нагружения деформируемого тела в точке задан в пространстве напряжений.

Вектор напряжений. Векторное представление процесса нагружения в пространстве напряжений

Процесс нагружения в точке деформируемого тела можно представить в пятимерном пространстве траекторией конца вектора напряжений [69]. Действительно, если учесть зависимость (1.10) между компонентами тензора напряжений и компонентами девиатора напряжений, а также, что первый инвариант девиатора напряжений (1.20) равен нулю, то процесс нагружения в точке деформируемого тела характеризуется пятью независимыми функциями времени компонент девиатора напряжений и функцией времени

Таким образом, геометрически процесс нагружения в точке деформируемого тела может быть представлен в виде тензорной кривой в шестимерном линейном метрическом тензорном пространстве или в виде девиаторной кривой в пятимерном девиаторном пространстве и функцией Такие тензорные кривые и их свойства рассмотрены в работе [69]. Так как среди шести компонент девиатора напряжений только пять независимых, то для векторного представления девиатора напряжений для данного девиатора напряжений выбирают соответствующий вектор напряжений

где компоненты вектора напряжений.

Следовательно, процесс нагружения в точке деформируемого тела задают функцией и кривой в пятимерном пространстве которая описывается концом вектора напряжений (1.122). Такая кривая называется траекторией нагружения в пространстве напряжений [69]. Зависимости между компонентами вектора напряжений и компонентами девиатора напряжений выбирают так, чтобы они были взаимно однозначными, линейными и при этом выполнялось равенство [69]

В этом равенстве

Условие (1. 123) справедливо, если Данное тождество при выполняется тогда, когда зависимости между компонентами девиатора напряжений и компонентами вектора напряжений имеют вид [69]

Обратные зависимости между компонентами вектора напряжений и компонентами девиатора напряжений определяются выражениями

где произвольное фиксированное число.

Из приведенных зависимостей следует, что с изменением во времени девиатора напряжений изменяются компоненты вектора напряжений При этом конец вектора напряжений откладываемого от начала координат, описывает в пятимерном пространстве напряжений траекторию нагружения в точке деформируемого тела. Таким образом, каждому процессу деформирования тела в пятимерном пространстве соответствует вполне определенная

траектория напряжений а направляющий девиатор напряжений взаимно однозначно определяется единичным вектором напряжений где модуль вектора напряжений. Нагружение в данной точке деформируемого тела является простым, если направляющий единичный вектор напряжения остается постоянным. Это возможно тогда, когда траектория нагружения в пространстве напряжений представляет собой прямой луч, выходящий из начала координат. Такое нагружение иногда называют пропорциональным. Траектория нагружения в пятимерном пространстве вектора напряжений изображает наиболее общий процесс изменения напряженного состояния в точке тела, когда все пять компонент вектора напряжений независимо и произвольно изменяются с течением времени.

Однако существуют задачи механики твердого деформируемого тела, в которых процессы нагружения в точке тела характеризуются траекторией нагружения в пространстве с размерностью меньше пяти.

Приведем несколько задач, рассмотренных в работах Ильюшина [69], для плоского напряженного состояния твердого деформируемого тела, процесс нагружения которого в точке характеризуется траекторией нагружения в трех-, дву- и одномерном пространстве.