Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Тригонометрическая форма записи главных напряжений и деформаций

Напряженное состояние в произвольной точке характеризуется тремя главными напряжениями суоод, значения которых определяются как действительные корни кубического уравнения (1.15). Выполняя подстановку

и учитывая, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю, преобразуем (1.15) к виду

Решение уравнения (1.79) в тригонометрической форме [196] имее вид

При

Полагая в формуле (1.80) последовательно и используя зависимость (1.35) [66, 77, 101, 168], имеем

Рис. 16

Главные касательные напряжения (1.27) с учетом зависимостей (1,82) и (1.18) определяются по формулам

Зависимости (1.82) и (1.84) представлены графически с помощью звезды Пелчинского для напряжений на рис. 16, а [279]. Если углы отсчитывать в направлениях, показанных на рис. 16, б, то формулы для определения главных напряжений приобретают вид [168]

Поскольку после некоторых преобразований формулы (1.84), (1.87) с учетом (1.36) можно обобщить:

Таким образом, напряженное состояние в точке деформируемого тела характеризуется величинами которые соответственно определяются формулами (1.16), (1.40).

Рис. 17

Если на девиаторной плоскости (рис. 17) в направлениях осей отложить главные напряжения то замыкающая полученной ломаной линии является интенсивностью напряжений, а угол наклона ее к оси углом вида напряженного состояния. Такое построение называют диаграммой Марциняка [265]. Вид напряженного состояния характеризуется параметром который впервые установлен в экспериментальной работе Лоде [93], выполненной под руководством Надаи [123]:

Используя зависимости (1.86), запишем выражение (1.88) в тригонометрической форме:

Значения параметра Надаи — а также угла вида напряженного состояния для некоторых видов деформаций приведены в табл. 7.

Выражения (1.84) для главных напряжений в тригонометрической форме при условии, что позволяют установить неравенства [102]

а следовательно,

Из приведенных неравенств выводятся пределы изменения угла вида напряженного состояния:

На основании этого из формул (1.84), с учетом выражения (1.36), находим

Таблица 7 (см. скан)

Среднее значение

отличается от крайних значений примерно на 7%. Следовательно,

Такая приближенная зависимость между интенсивностью напряжений и главными напряжениями носит линейный характер.

Главные компоненты девиатора деформаций в тригонометрической форме можно представить в виде [102]

или

где

Главные деформации сдвига можно выразить через угол вида деформированного состояния:

Рис. 18

Рис. 19

Таким образом, деформированное состояние в точке полностью характеризуется средней деформацией интенсивностью деформаций и углом вида деформированного состояния Формулы (1.90), (1.90а), (1.92) посленеболыиих тригонометрических преобразований можно обобщить [200]:

Геометрическая интерпретация формул (1.90) и (1.92) с помощью звезды Пелчинского [279] для деформаций показана на рис. 18.

Диаграмма Марциняка [265] для деформаций (рис. 19) построена в предположении, что материал несжимаемый том этого условия, а также тождеств

формулы (1.90) преобразуются к виду

Поскольку угол деформированного состояния изменяется в пределах

то

Тогда

Приближенная линейная зависимость (1.97) между интенсивностью деформаций и главными деформациями может быть использована при приближенных расчетах элементов конструкций за пределами упругости.

Вид деформированного состояния характеризуется параметром Надаи — Лоде:

или в тригонометрической форме

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление