Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Неустановившаяся ползучесть стержней и стержневых систем

Неустановившаяся ползучесть стержня при изгибе

Решение задачи неустановившейся ползучести стержня прямоугольного сечения при чистом изгибе [13, 78, 102] при условии постоянства изгибающего момента определяется минимумом дополнительной мощности (17.11):

Поскольку вариационное уравнение (17.11) в силу условия (17.52) выражает гипотезу плоских сечений, при которой справедлива зависимость получаем следующее уравнение ползучести:

Данное уравнение решается путем сложных вычислений. Поэтому целесообразно искать приближенное решение в виде

Здесь функция времени, определяемая из дифференциального уравнения [78]

где

Введем безразмерные величины

При этом безразмерный коэффициент зависит лишь от формы сечения и показателя ползучести и всегда меньше единицы:

так как то только при Безразмерное напряжение вычисляется по формуле

где

После интегрирования уравнения (17.54) при получаем

где — безразмерное время [78]:

причем

Кривая строится численным интегрированием. Очень часто принимают, что функция линейная:

где

Тогда

На рис. 196 показаны кривые, рассчитанные по уравнениям (17.55) (сплошная линия) и (17.59) (штриховая линия) для изгибаемого стержня прямоугольного сечения при Значения коэффициентов и 2 для некоторых сечений приведены в табл. 21 [13], а зависимость

на рис. 197. Таким образом, зная коэффициенты и 2, находим а следовательно, и функцию Затем определяем напряжения при чистом изгибе стержня в условиях неустановившейся ползучести.

Рис. 196

Рис. 197

Поскольку при следовательно, при напряжения при неустановившейся ползучести монотонно убывают от начального упругого состояния, характеризующегося напряжением а, к состоянию установившейся ползучести, характеризующейся напряжением Эпюры распределения безразмерных напряжений при чистом изгибе стержня прямоугольного поперечного сечения для различных значений безразмерного времени показаны на рис. 198 [78].

При

Рис. 198

Если стержень подвергается изгибу моментом, монотонно изменяющимся во времени, то принцип минимума дополнительной мощности (17.11) остается без изменения. Приближенное решение напряжений при неустановившейся ползучести в этом случае ищем также в виде (17.26), только являются напряжениями для текущего момента. Тогда дифференциальное уравнение для определения функции в отличие от дифференциального уравнения (17.54) имеет вид [78]

Таблица 21 (см. скан)

При этом использовано соотношение Дифференциальное уравнение (17.61) при известной зависимости может быть проинтегрировано по методу Эйлера. После нахождения функции напряжения определяются по формуле вида (17.26).

В случае поперечного изгиба для статически определимых задач все реакции находятся из уравнений статики. Поскольку все силы, в том числе и реакции опор, известны, решение задачи неустановившейся ползучести при изгибе при заданных постоянных нагрузках ищем также в виде (17.26). В этом случае приходим к прежнему выводу [78]:

Необходимо только установить вид функций II и Используя общую формулу (17.34) для изгиба, находим [78]

Вводя безразмерные зеличины (17.56) и принимая, что изгибаемый стержень имеет постоянное поперечное сечение, из формулы (17.63) получаем [78]

Здесь величины определяются формулами (17.55); -упругая потенциальная энергия стержня в начальном состоянии; дополнительное рассеяние мощности для установившегося состояния. Тогда решение имеет вид [78]

где

Принимая линейную аппроксимацию, получаем выражение

аналогичное выражению (17.60), полученному при решении задачи неустановившейся ползучести при чистом изгибе [78]. Поэтому кривая для данного поперечного сечения и при данном значении показателя степени ползучести строится независимо от эпюры изгибающего момента. Только для каждого конкретного случая производятся отсчеты по оси времени, которые определяются по формуле (17.66) и, конечно, зависят от эпюры изгибающего момента. Такое влияние эпюры изгибающего момента характеризуется отношением дополнительного рассеяния к начальной упругой энергии Таким образом, решение основной краевой задачи неустановившейся ползучести показывает, что с течением времени напряженное состояние изменяется, стремясь к некоторому установившемуся состоянию.

Рассмотрим релаксационную задачу неустановившейся ползучести. При решении данной задачи необходимо учитывать, что напряжения со временем релаксируют (уменьшаются), стремясь, к нулю. Релаксационная задача неустановившейся ползучести при чистом изгибе стержня, вначале изогнутого моментом а затем жестко закрепленного на концах, приводится к интегрированию уравнения

полученного из уравнения (17.53) вследствие того, что Решение уравнения (17.68) имеет вид [78]

где — начальное напряжение в том же волокне стержня,

Вычисляя изгибающий момент, находим

где

Например, для материала при показателе ползучести из формулы (17.70) получаем

Рис. 199

Кривая релаксации изгибающего момента, построенного по формулам (17.72), показана на рис. 199 (сплошная линия). Приближенное решение релаксационной задачи при неустановившейся ползучести в условия чистого изгиба стержня прямоугольного сечения ищем в виде

Множитель релаксации в случае степенной зависимости определяют из формулы (17.50), где

Здесь упругая энергия стержня в начальный момент; обобщенный момент инерции сечения стержня. После вычисления находят Затем по формуле (17.73) устанавливают закон изменения нормальных напряжений в данной точке с течением времени при заданном значении

Релаксация изгибающего момента, равного в начальный момент времени при согласно приближенному решению задачи (17.50) происходит по закону

Кривая релаксации изгибающего момента, построенная по формуле (17.75) приближенного решения, приведена на рис. 199 (штриховая линия).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление