Приближенное решение задач релаксации

Решение вариационного уравнения (17.11) ищем в виде

где некоторая произвольная функция времени (множитель релаксации); напряжения в начальный момент, которые считаем известными. С учетом являются функциями только множителя релаксации. Тогда вариационное уравнение (17.11) принимает вид [78]

Из уравнения (17.47) следует дифференциальное уравнение для множителя релаксации

При имеем упругое решение. Поскольку и от множителя не зависит, интегрируя уравнение (17.48), находим [78]

Если

где интенсивность касательных напряжений для начального упругого состояния; потенциальная энергия тела в начальный момент Принимая степенную зависимость а следовательно, после интегрирования получаем [78]

где безразмерное время, причем

Поскольку монотонно возрастающая функция то с течением времени множитель релаксации уменьшается, стремясь к нулю при Кривые релаксации при фиксированном значении вычисляют один раз навсегда для тела любой формы. Для каждой конкретной задачи изменяется лишь отсчет по оси времени. Коэффициент к определяют численным интегрированием уравнения (17.51), Для простейших задач решение (17.50) является точным, а для более сложных задач его необходимо рассматривать как первое приближение. Дальнейшее уточнение решения базируется на данном первом приближении.