Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Приближенные методы решения краевых задач неустановившейся ползучести

Точное решение краевых задач неустановившейся ползучести представляет значительные математические трудности. Рассмотрим приближенные методы решения краевых задач неустановившейся ползучести (основной, релаксационной и смешанной), основанные на принципе минимума дополнительной мощности [13, 78].

Общее решение краевой задачи неустановившейся ползучести при заданных нагрузках

Предположим, что на тело, ограниченное поверхностью объемом V, действуют постоянные объемные ( и поверхностные силы. Пусть в начальный момент пластические деформации отсутствуют; тогда распределение напряжений и деформаций описывается уравнениями теории упругости. Считаем, что упругое решение известно. Напряжения упругого решения обозначим одним штрихом а напряжения, соответствующие состоянию неустановившейся ползучести, — двумя штрихами При этом полагаем, что решение задачи установившейся ползучести также известно.

При постоянных заданных нагрузках процесс протекания неустановившейся ползучести сводится к медленному изменению напряженного состояния от упругого к установившемуся состоянию Поэтому приближенное решение вариационного уравнения (17.11), описывающего процесс неустановившейся ползучести, ищем в следующем виде [13, 781:

где функция времени. Иногда данную функцию называют просто множителем Подставим (17.26) в выражения для упругой энергии и дополнительного рассеяния А, причем для простоты принимаем, что кривые ползучести подобны (при этом и учитываем, что напряжения известны (значит, —функции только множителя Тогда условие минимума дополнительной мощности тела записывается таким образом [78]:

Дифференциальное уравнение для множителя имеет вид

Для удобства обозначим соответственно будем обозначать все величины, связанные с разностями напряжений

Используя формулы (17.26), преобразуем выражение для интенсивности касательных напряжений:

где

Так как квадратичная положительная функция то и не зависит от Из уравнения (17.28) с разделяющимися переменными после интегрирования при условии находим уравнение для определения множителя [78]:

где определяется из кривой ползучести, а

Напряжения определяются решением вариационного уравнения Если искать решения данного уравнения в виде (17.26), то для определения множителя получим следующее уравнение [78]:

Это справедливо при Следовательно, После дифференцирования выражения (17.31) находим [78]

Поскольку выражение, стоящее в квадратной скобке, положительно. Значит, Поэтому функция монотонно убывает и в интервале

положительна. График функции показан на рис. 193 сплошной линией, которая на оси ординат отсекает отрезок

где

определяется по формуле (17.30).

Рис. 193

Рис. 194

В случае степенной зависимости имеем тогда

При нечетном полином степени

где полином степени, т. е.

в интервале этот полином положителен [78].

Так как функция стоящая под знаком интеграла в выражении (17.31), при равна нулю, то интеграл расходится. Поскольку функция монотонно возрастает с течением времени, стремясь к бесконечности при то из уравнения (17.31), которое определяет следует, что представляет собой монотонно возрастающую функцию времени, которая асимптотически приближается к значению при (рис. 194).

Таким образом, данное решение указывает на то, что состояние неустановившейся ползучести с течением времени монотонно изменяется от начального упругого состояния к состоянию установившейся ползучести. Нахождение функции значительно

упрощается, если принять линейную аппроксимацию функции (см. рис. 193, пунктирная кривая),

Тогда уравнение (17.31), из которого определяется принимает вид [78]

Решая уравнение (17.37), находим

где безразмерное время. График данной зависимости псказан на рис. 195. При этом необходимо только вычислить энергию тела для разностей напряжений и значение функции которая при степенной зависимости имеет вид

Проведенные расчеты показывают, что лучшие результаты получаются, если функцию аппроксимировать параболической зависимостью, т. е.

где

Это решение получено для подобных кривых ползучести, однако оно может быть использовано и в случае отсутствия подобия кривых ползучести, а также в смешанных задачах.

Рис. 195

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление