Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Напряженно-деформированное состояние осесимметричных пластин при изгибе в условиях установившейся ползучести

Задача об установившейся ползучести круглой пластины (рис. 187), изгибаемой осесимметричной нагрузкой, решается при следующих допущениях: прогибы малы по сравнению толщиной пластины средняя плоскость пластины не удлиняется, ее точки получают только вертикальные смещения; линейные элементы, перпендикулярные серединной плоскости до деформации, остаются линейными и перпендикулярными серединной поверхности после деформации . Принимаемые допущения носят геометрический характер и не связаны со свойствами материала. Согласно этим допущениям,

компоненты деформаций ползучести: скорости деформаций ползучести; — угол поворота сечения за счет ползучести. Учитывая, что где прогиб серединной плоскости пластины, запишем (16.97) в виде

где скорость прогиба. Поскольку материал несжимаемый, интенсивности деформаций и скорости деформаций ползучести определяются формулами

Рис. 187

При решении данной задачи поэтому

Решая (16.101) относительно напряжений, находим

С учетом имеем

Обозначая и учитывая (16.99), запишем (16.103) в виде [78]

В сечениях на единицу длины серединной линии действуют изгибающие моменты и поперечное усилие (cм. рис. 187):

Используя зависимости (16.104) и интегрируя по толщине пластины до находим

где - жесткость пластины. Изгибающие моменты также перерезывающее усилие удовлетворяют уравнениям равновесия:

Исключая из (16.107), с учетом (16.106) получаем дифференциальное уравнение третьего порядка относительно угла поворота сечения пластины за счет ползучести:

где — давление, распределенное по поверхности пластины. Поскольку выражения для определения изгибающих моментов (16,106) записывают таким образом:

где определяется из дифференциального уравнения четвертого порядка [78]:

Нелинейное дифференциальное уравнение (16.109) (или (16.111)) при соответствующих граничных условиях решается различными численными методами. Согласно методу Галеркина — Бубнова,

зная прогиб по формулам (16.97) находим деформации следовательно, и интенсивность деформаций ползучести Из диаграммы деформирования по известной величине определяем интенсивность напряжений а по формулам (16.102) — напряжения

Применим в задаче об установившейся ползучести изгибаемой пластины с равномерно распределенной нагрузкой принцип минимума полной мощности Вводя в интенсивность скоростей деформаций сдвига которая с учетом (16.100) определяется формулой

я выполняя интегрирование по 2, находим [78]

Выражение для вариации мощности заданных внешних сил имеет вид [78]

Здесь знак показывает, что из значения члена, стоящего в квадратных скобках, при необходимо вычесть его значение при изгибающий момент и поперечная сила на краях пластины. Если пластина изгибается под действием сосредоточенной силы приложенной в центре пластины, то

где вариация скорости прогиба в центре пластины. Вариационное уравнение (16.113) можно решить с помощью метода Ритца, полагая

где функции, удовлетворяющие однородным геометрическим условиям задачи; произвольные постоянные, которые определяются из условия минимума полной мощности. Так как функционал не квадратичный, то прямое использование метода Ритца связано с вычислительными трудностями, поэтому в данном

(см. скан)

случае более удобным является модифицированный метол Ритца. Если ограничиться приближением, содержащим лишь один параметр то решение задачи значительно упрощается.

В качестве примера в табл. 20 [131 приведены значения скорости прогиба круглых и кольцевых пластин для различных случаев нагружения и закрепления.

Рис. 188

Рис. 189

Зависимости функций от — графически показаны на рис. 188, а для — на рис. 189.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление