Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Упругопластическое состояние вращающегося диска в условиях установившейся ползучести

Решим задачу об установившейся ползучести вращающегося равномерно нагретого диска переменной толщины (рис. 186) по методу, предложенному Н. Н. Малининым [102].

Исходя из статических условий задачи, получаем следующее дифференциальное уравнение движения элемента диска переменной толщины [96, 97, 1051:

Интегрируя уравнение (16.72) от до при краевом условии (при находим

где

Рис. 186

При Полагая в уравнении и используя краевое условие (для получаем

где значение функции на внешнем контуре. Решая уравнение (16.73) относительно находим [102]

Из геометрических условий задачи имеем

В качестве физических уравнений используются уравнения теории малых упругопластических деформаций, которые для нашего случая записываются в виде

Зависимость между интенсивностью деформаций ползучести и интенсивностью напряжений а принимается степенной:

где

Тогда условие совместности деформаций (16.77) с учетом (16.78), (16.80) и (16.79) приводится к виду

Деля каждый член этого уравнения на и обозначая получаем [102]

После интегрирования по радиусу находим

Из данного уравнения учетом того, что следует

где С — некоторая функция времени [102],

Здесь

Тогда

В случае диска без центрального отверстия для центральной точки согласно выражению (16.86) имеет место неопределенность. Раскрывая ее, находим, что при Формулы (16.87) и (16.88) являются основными для определения напряжений вращающегося диска при установившейся ползучести.

Вычисления напряжений по формулам (16.87) и (16.88) производятся методом последовательных приближений. В начальном нулевом приближении принимают, что напряжения распределяются так же, как и в пределах упругости. Получив упругое решение, из соотношения определяем значение Затем по формуле (16.86) вычисляем функцию а по формулам (16.87) и (16.88) — окружные и радиальные напряжения в первом приближении. Напряжения во втором и последующих приближениях определяют так же, как и в первом приближении; при этом за исходные напряжения принимают напряжения предыдущего приближения. Зная напряжения, находим радиальное перемещение ползучести:

Метод решения, предложенный А. П. Филипповым [222], заключается в том, что при решении задачи о ползучести вращающегося диска используются зависимости Генки между компонентами напряжений и деформаций:

где

а — коэффициент линейного температурного расширения; темпе ратура как функция радиуса. Связь между интенсивностью напряжений интенсивностью деформаций ползучести и временем принимается в виде

Функция ползучести определяется по формуле [17]

Условие совместности деформаций (16.77) с учетом (16.90) и (16.91) записывается в виде

Добавляя к этому уравнению уравнение равновесия (16.72), а также уравнение (16.93), получаем необходимую систему для определения напряжений сгги Исключая из уравнения с помощью (16.72) находим дифференциальное уравнение для радиального напряжения, которое затем приводится к интегродифференциальному уравнению, имеющему при постоянном модуле упругости следующий вид [17, 222]:

Тангенциальное напряжение определяется по формуле

Постоянные A и В находим из краевых условий. При этом напряжения для заданного времени вычисляем методом последовательных приближений, принимая за исходное нулевое состояние упругое распределение напряжений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление