Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Принцип минимума дополнительного рассеяния

Предположим, что тело под действием постоянных во времени объемных и поверхностных сил на поверхности и скоростей заданных на поверхности находится в условии установившейся ползучести. При этом истинные напряжения

удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия (15.1), а также трем условиям на поверхности ; скорости точек на поверхности имеют заданные определяемые величины. Сопоставим истинные напряжения с бесконечно близкими, статически возможными распределениями напряжений [78]:

Поскольку истинные напряжения (15.27) и статически возможные напряжения (15.28) удовлетворяют уравнениям равновесия (15.1) и условиям на поверхности (15.6), то вариации напряжений и

вариации поверхностных нагрузок удовлетворяют следующим уравнениям:

Так как на вариации напряжений не накладывается больше никаких условий, новое статически возможное напряженное состояние не может соответствовать какой-либо сплошности деформаций. Поэтому именно сплошность деформаций отличает истинное напряженное состояние от мысленных равновесных состояний [78]. Мощность вариации напряжений на истинных скоростях деформаций записывается в виде интеграла

Заменяя компоненты скорости деформаций в уравнении (15.31) на проекции скорости перемещений по формулам (15.3) и интегрируя по частям, а также используя формулу Гаусса— Остроградского, с учетом уравнений равновесия (15.29) и условий на поверхности (15.30) находим [78]

Из данного уравнения вытекают условия неразрывности скоростей деформаций (15.7). Учитывая, что компоненты скоростей деформаций связаны с напряжениями зависимостями (15.13), получаем

Уравнение (15.31) с учетом (15.33) принимает вид [78]

Если мощность вариаций внешних сил на истинных скоростях перемещений равна нулю, т. е.

что возможно в случае, когда на заданы напряжения а на равны нулю скорости перемещений то

Согласно уравнению (15.35) из всех статически возможных напряженных состояний только истинное напряженное состояние сообщает минимум дополнительному рассеянию тела [13.78]:

Дополнительное рассеяние и рассеяние определяются соответственно по формулам (15.11) и (15.9), а в случае степенной зависимости между интенсивностью скорости деформаций сдвига и интенсивностью касательных напряжений — по формулам (15.16) и (15.17).

Уравнения (15.36) и (15.26) называются вариационными . Вариационный принцип минимума дополнительного рассеяния представляет собой обобщенный принцип Кастильяно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление