Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Механические модели деформируемого тела и наследственные теории ползучести

Для описания процесса ползучести предложены различные механические модели деформируемого тела [13, 102, 168]. Любая механическая модель деформируемого тела может быть представлена как некоторая система, состоящая из упругих и вязких элементов. Упругий элемент схематически можно изобразить в виде пружины (рис. 129, а). В этом случае удлинение элемента пропорционально приложенной силе

Вязкий элемент схематически можно представить в виде цилиндра, заполненного жидкостью, внутри которого перемещается поршень (рис. 129, б). В этом случае скорость перемещения поршня относнтельно цилиндра пропорциональна силе Р, т. е.

где коэффициенты пропорциональности. Пусть упругий я вязкий элементы соединены последовательно (рис. 129, в). Такая система элементов принята Максвеллом за модель вязкоупругого тела. В этом случае изменение расстояния между точками (А и В) приложения силы будет равно сумме удлинения пружины и перемещения поршня относительно цилиндра т. е. После дифференцирования данного выражения получаем

Рис. 129

Заменяя перемещения и силы соответственно на деформации и напряжения, а коэффициенты соот ветственно на имеем

где коэффициент вязкости. Уравнение (12.20) устанавливает зависимость между деформацией, напряжением и временем для вязкоупругого тела в модели Максвелла. Из анализа уравнения (12.20) следует, что при деформация растет с постоянной скоростью, т. е. причем скорость деформации пропорциональна напряжению. Таким образом, для данной модели деформируемого тела материал течет подобно вязкой жидкости. Из уравнения при получаем

Рис. 130

После интегрирования, поскольку при (начальное условие), находим

Величина называется временем релаксации, т. е. временем, в течение которого начальное напряжение уменьшится в раз Для вязкоупругого тела в модели Максвелла напряжение при постоянной деформации уменьшается с течением временя по экспоненциальному закону, стремясь в конечном счете к нулю (рис. 129,).

Пусть теперь упругий и вязкий элементы соединены параллельно (рис. 130, а). Такая система элементов принята Фойхтом за модель вязкоупругого тела. В этом случае общая сила действующая на систему, равна сумме сил действующих соответственно на упругий и вязкий элементы,

или

Уравнение (12.23а) описывает вязкоупругое тело модели Фойхтаи После интегрирования данного уравнения при полагая, что в начальный момент деформация равна нулю, находим

Уравнение (12.24) указывает на то, что при деформация с течением времени растет по экспоненциальному закону, стремясь в конечном счете к величине (рис. 130, б). Из уравнения (12.23) следует, что при напряжения о течением времена

Рис. 131

не изменяются. Значит, данное уравнение не отражает релаксации напряжений.

Таким образом, предлагаемые Максвеллом и Фойхтом модели вязкоупругого тела только косвенно отражают стороны сложных мроцессов деформирования материалов во времени.

Представим два упругих и один вязкий элементы, соединенные в систему так, как показано на рис. 131, а. Поскольку перемещение поршня относительно цилиндра в вязком элементе равно удлинению пружины изменение расстояния между ючками приложения силы определяется суммой

Дифференцируя данное выражение, а также учитывая, что

получаем

Отсюда

Заменяя перемещения и силы соответственно на деформации и напряжения, а коэффициенты соответственно на находим

где

Уравнение (12.25) устанавливает зависимость между деформацией, напряжением и временем для вязкоупругого тела в модели Кельвина, изображенной на рис. 131, а. В случае мгновенного приложения нагрузки величинами и пренебрегаем вследствие их малости относительно и поэтому уравнение (12.25) преобразуется к виду

а следовательно, Здесь мгновенный модуль упругости, В случае медленного приложения нагрузки, когда малы, уравнение (12.25) преобразуется к виду Здесь длительный модуль упругости. Так как длительный модуль упругости меньше мгновенного. Решая уравнение (12.25) относительно деформации и полагая, что в начальный момент деформации являются упругими, а модуль упругости равен мгновенному модулю, получаем

При из (12.26) следует уравнение кривой ползучести:

Согласно этому уравнению при а при деформация стремится к асимптоте (рис. 131, б). Предположим, что процесс ползучести при протекает некоторое время затем напряжение мгновенно уменьшается до нуля, а деформация — на величину и снова протекает процесс обратной ползучести (или обратное последействие), описываемый формулой, полученной из уравнения (12.26):

Согласно этому уравнению при т. е. вся деформация ползучести является обратимой. Поэтму последействие в вязкоупругой модели, предложенной Кельвином, является упругим. Решая уравнение (12.25) относительно напряжений и предполагая, что при деформация является упругой, а модуль упругости равен мгновенному модулю, получаем

Рис. 132 (см. скан)

При из (12.29) следует уравнение кривой релаксации:

Таким образом, модель вязкоупругого тела Кельвина в отличие от ранее принятых моделей отражает обе стороны ползучести — прямое и обратное последействие и процессы релаксации.

Для правильного описания процессов ползучести строят модели, состоящие из четырех (рис. 132) и более соединенных упругих и вязких элементов, т. е. строят многоэлехментные модели. Для этого случая добавляют в правую и левую части уравнения (12.25) производные более высокого порядка 1102, 168]:

Следовательно, использование многоэлементных моделей приводит к громоздким математическим выражениям.

Процессы ползучести описываются с помощью наследственных теорий ползучести, которые можно рассматривать как обобщение механических моделей [78, 102, 168].

Теория, учитывающая историю нагружения, называется наследственной теорией. Наиболее простой из числа наследственных теорий ползучести является линейная теория наследственности, предложенная Больцманом. В ее основе лежит принцип суперпозиции (наложения) деформаций.

Предположим, что в течение малого промежутка времени напряжение в растянутом стержне равно Это напряжение вызвало деформацию, которая изменяется с течением времени, причем в момент она пропорциональна напряжению длительности воздействия и некоторой убывающей функции отрезка времени обозначаемой Согласно принципу суперпозиции деформация в момент определяется по формуле а полная деформация — по формуле

Таким образом, по заданному изменению напряжений можно установить закон изменения деформаций. При из (12.31) следует уравнение

которое описывает кривую ползучести, т. е. определяет закон изменения деформации с течением времени при постоянном напряжении. Функция представляет собой ядро интегрального уравнения (12.31), где переменная интегрирования, которая изменяется от до Решая линейное интегральное уравнение (12.31) относительно находим уравнение

которое по заданному изменению деформации определяет закон изменения напряжений. Здесь функция разности двух переменных резольвента интегрального уравнения (12.33). При из (12.33) следует уравнение

которое описывает кривую релаксации, т. е. определяет закон изменения напряжений с течением времени при постоянной деформации.

Линейная наследственная теория, предложенная Больцманом, развита Вольтерром. Им предложены нелинейные интегральные соотношения, обобщающие уравнения Больцмана. Поэтому часто данная теория называется теорией Больцмана — Вольтерра. Для

одномерной задачи зависимость между напряжением и деформацией принималась Вольтерром в следующем виде:

Применение данного уравнения к решению каких-либо задач связано с большими математическими сложностями.

Рис. 133

Поэтому используются другие варианты нелинейных интегральных соотношений теории: теория наследственной пластичности [128], которая аналитически имеет вид

теория нелинейной наследственности [182, 183], которая аналитически имеет вид

В работе В. С. Наместникова, Ю. Н. Работнова [128] приведены результаты исследования на ползучесть сплава при температуре 200° С и постоянных напряжениях, которые сравнивались с кривыми ползучести, получающимися из уравнений (12.36) и (12.37). На рис. 133 приведены расчетные кривые, построенные по уравнениям (12.36) (сплошные линии) и (12.37) (штриховые линии), а также экспериментальные данные (кружочки) [128].

Использование наследственных теорий в расчетах элементов конструкций на ползучесть связано с большими математическими трудностями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление