Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. О приспособляемости упругопластических систем в случае однопараметрических внешних сил

Предположим, что объемные и поверхностные силы, действующие на систему, изменяются пропорционально одному параметру т. е.

а также, что при первом нагружении возникают пластические деформации. Допустим, что внешние нагрузки перед началом разгрузки равны?

где значение определяющее внешние силы, приложенные к системе перед началом разгрузки Обозначим минимальные значения внешних сил при разгрузке и последующем нагружении обратного знака следующим образом:

где - минимальное значение Тогда на основании первой теоремы о переменном нагружении компоненты напряжений и компоненты деформаций возникающие при разгрузке и последующем нагружении обратного знака, определяются формулами [122]

где компоненты напряжений и деформаций, соответствующие нагрузкам с параметром и компоненты напряжений и деформаций, определяемые компонентами и заменой в них на на Если удалить внешние силы и вновь нагружать систему силами то компоненты напряжений и деюрмаций, согласно второй теореме о переменном нагружении, находятся по формулам [122]

где компоненты напряжений и деформаций, которые определяются компонентами и заменой в них на и от на Коэффициент так же, как и характеризует упругопластические свойства материала при соответствующем нагружении.

При решении задачи о приспособляемости упругопластической системы принимаем, что коэффициенты т. е. что упругопластические свойства характеризуются установившейся диаграммой деформирования при нагрузке, разгрузке и последующем нагружении обратного знака. Для идеальной среды упругопластические свойства описываются теорией Мазинга, согласно которой В этом случае компоненты напряжений и деформаций отличаются от соответствующих компонент тем, что первые вызываются внешними силами,

определяемыми параметром к а вторые — силами, определяемыми параметром к — Следовательно, если внешние силы, которые вновь действуют на систему, совпадают с соответствующими силами, которые были приложены перед первой разгрузкой,

то Тогда согласно формулам (11.98) получаем

Данное условие позволяет сравнительно просто установить значения приспособляющих нагрузок, т. е. установить экспериментальные значения внешних сил, приложение любого числа которых вызывает появление пластических деформаций только при первых циклах нагружения.

Предположим, что при первом нагружении внешними силами характеризующимися параметром образовались области пластических деформаций. После полной разгрузки вновь нагрузим систему силами обратного знака, характеризующимися параметром Если при возникли пластические деформации, то согласно уравнению (11.90) последующее нагружение силами, определяемыми параметром приведет систему в состояние первого нагружения. Следовательно, при последующих нагружениях силами, характеризующимися экспериментальными значениями параметра,

появляются пластические деформации. Иными словами, при данном условии система не приспосабливается. Это значит, что система приспосабливается в том случае, когда будут отсутствовать пластические деформации при полной разгрузке и при последующем нагружении силами обратного знака.

Для установления аналитического выражения условия приспособляемости системы рассмотрим напряжения и деформации при разгрузке и последующем нагружении усилием обратного знака, определяемые компонентами напряжений и деформаций Указанные компоненты характеризуют напряженное и деформированное состояния в некотором фиктивном теле, которое отличается от рассматриваемого пределом текучести, большим в раз. Объемные и поверхностные нагрузки, деформирующие фиктивное тело, определяются как разности [122]:

Таким образом, условие отсутствия пластических деформаций в системе при разгрузке и последующем нагружении силами обратного знака совпадает с условием отсутствия пластических деформаций в указанном фиктивном теле при нагружении его силами, которые удовлетворяют соотношениям (11.101). Условие отсутствия пластических деформаций в рассматриваемой системе при первом нагружении записывается в виде

Из (11.102) находим значение параметра

при котором данная система деформируется упруго. Тогда, согласно теореме о переменном нагружении, пластические деформации в фиктивном теле отсутствуют, если выполняется условие [122]

Для идеальной среды условие (11.104) имеет вид

Отсюда

Следовательно, система приспосабливается, если параметр характеризующий внешние силы, изменяется в таких пределах [122]:

Функция определяемая условием (11.102), может быть построена при известном решении задачи в упругой области. Значение определяется из условий, которые накладывают ограничения на внешние силы при первом нагружении рассматриваемой системы, следовательно, Я всегда известно. Кроме того, ограничивается условием прочности системы при первом нагружении. Таким образом, параметр, характеризующий приспосабливающую нагрузку, определяется функцией и значением обусловленным условиями прочности при первом нагружении. В том случае, когда по условиям эксплуатации заданы силы характеризующиеся параметром система приспосабливается, если внешние силы изменяются так, что при этом не появляются пластические деформации в некотором фиктивном теле, напряженное и деформированное состояния которого определяются компонентами напряжений и деформаций [122]. Тогда по аналогии с условием (11.104) имеем

Поэтому система при заданном приспосабливается, если параметр А изменяется в таких пределах [122]:

Рассмотрим некоторые задачи однопараметрических приспосабливающих нагрузок.

1. Растяжение-сжатие стержня круглого поперечного сечения с кольцевой выточкой (рис. 116) [122].

Рис. 116

Рис. 117

Стержень испытывает только упругие деформации при условии, что осевая сила не превышает следующей величины:

Согласно решению Нейбера

где

Здесь а — радиус круга поперечного сечения наименьшей площади; радиус кривизны дна выточки. Стержень приспосабливается, если осевая сила изменяется в следующих пределах [122]:

Если сила является только растягивающей или только сжимающей, приспособляемость наступит при условии, когда

Здесь — сила, при которой напряжения равны сопротивлению отрыву. Поскольку приспосабливающая осевая сила определяется по формуле [122]

Таким образом, приспосабливающая растягивающая сила зависит от отношения Графически эта зависимость при показана на рис. 116 [122].

2. Изгиб кривого бруса.

Рис. 118

Рис. 119

Кривой брус прямоугольного поперечного сечения, изгибаемый переменным изгибающим моментом (рис. 117), приспосабливается, если изгибающий момент изменяется в таких пределах [122]:

где площадь поперечного сечения; высота сечения; радиусы кривизны соответственно вогнутой и выпуклой граней бруса.

3. Кручение круглого стержня с круговой выточкой. Круглый стержень, подвергаемый переменному кручению (рис. 118), приспосабливается, если относительный угол закручивания изменяется в следующих пределах [122]:

Пластические деформации появляются при где максимальное касательное напряжение на дне выточки, -радиус граничного круга; -радиус выточки.

4. Совместный изгиб бруса с растяжением-сжатием. Брус, подвергаемый совместному переменному действию изгибающего момента и растягивающей-сжимающей силы (рис. 119), приспосабливается, если сила изменяется в таких пределах [122]:

где - площадь поперечного сечения бруса; высота сечения момент инерции поперечного сечения.

Рис. 120

5. Растяжение пластинки с двухсторонней внешней выточкой. Пластинка с двухсторонней внешней выточкой, подвергаемая переменному растяжению силой (рис, 120), приспосабливается, если сила изменяется в следующих пределах [122]:

где

Здесь толщина пластинки; а — половина ширины пластинки у дна выточки; — радиус кривизны у дна выточки. В том случае, когда сила является только растягивающей, приспосабливающее значение этой силы

зависит от отношения Графически эта зависимость показана на рис. 120 [122].

При решении указанных задач предполагалось, что после каждого наибольшего числа циклов изменения пластических деформаций, которые допускались в системе до того, как она приспособится к упругому состоянию, не происходит никаких изменений в упругопластических свойствах материала, т. е. предполагалось, что после любого цикла диаграммы деформирования остаются такими же, как и при первом цикле нагружения. Это означает, что параметр не

зависит от числа циклов нагружений. Однако, согласно экспериментальным данным (см. гл. 9), для большинства материалов зависит от числа циклов нагружений. Поэтому условия, принимаемые за основу при определении приспосабливающих нагрузок, необходимо соответствующим образом изменить.

При многократных нагружениях [122]

где компоненты напряжений и деформаций определяются функциями заменой на и внешних сил силами Здесь известная функция. Обозначим через число допустимых циклов нагружений с циклическим изменением пластических деформаций; тогда для напряженного состояния предел текучести после нагружений равен Предполагая, что при первом нагружении а пластические деформации отсутствуют, условие -для напряженного состояния записывается в виде

Следовательно, упругопластическая система приспосабливается, если параметр характеризующий внешние силы, изменяется в таких пределах [122]:

Величина определяется из условия прочности при однократном нагружении. Условие (11.120) дает дополнительный запас прочности при переменных нагружениях по сравнению с условием (11.107).

Данная методика определения приспосабливающих нагрузок применима для циклически упрочняющихся материалов. Для циклически неупрочняющихся материалов при определении предельного состояния необходимо использовать не теорию приспосабливающих нагрузок, а критерии допустимых деформаций или перемещений [122]. В том случае, когда при переменном нагружении с заданной амплитудой напряжений упругопластические свойств» материалов таковы, что с увеличением числа циклов происходит увеличение пластических деформаций, а при заданной амплитуде деформаций наблюдается уменьшение соответствующих напряжений, главным фактором является не циклическое изменение пластических деформаций, а их рост от цикла к циклу.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление