Главная > Разное > Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Упругопластическое деформирование полого толстостенного цилиндра при циклическом нагружении внутренним давлением

Задача об упругопластическом деформировании полого толстостенного цилиндра при циклическом нагружении внутренним давлением решается при условии несжимаемости материала, обладающего линейным упрочнением . Если при полной разгрузке после первого нагружения давлением в стенках цилиндра появились вторичные пластические деформации, то при повторном нагружении давлением напряжения и деформации совпадают с напряжениями и деформациями, которые возникли при первом нагружении. В случае повторного нагружения цилиндра при он будет вести себя так, как если бы не было разгрузки. Поэтому задача о повторном нагружении решается для случая наличия перед началом разгрузки вторичных пластических деформаций [122]. Прежде всего определим вторичные пластические деформации, возникающие в полом толстостенном цилиндре при разгрузке после первого нагружения внутренним давлением Задача обопределении вторичных пластических деформаций решается при условии, что осевая деформация а также при условии, что . В этом случае радиальное перемещение при первом нагружении и где произвольная постоянная.

Используя геометрические уравнения, запишем выражения для деформаций и интенсивности деформаций при первом нагружении:

Физические уравнения по теории малых упругопластических деформаций для рассматриваемого случая имеют вид

Для материала, обладающего линейным упрочнением, справедливо выражение [122]

где

Подставляя выражение (11.41) в условие равновесия и выполняя интегрирование, находим [122]

Определяя постоянные С и из граничных условий на внутренней и внешней поверхностях цилиндра,

и предполагая, что область пластической деформации полностью охватила стенки цилиндра получаем

В этом случае

При выполнении условия (11.45) область пластической деформации распространяется по всей толщине цилиндра и напряжения

вычисляются по формулам (11.43). Если в цилиндре под действием давления сохраняются области упругих деформаций, то в области пластической деформации напряжения и деформации, определяются соответственно по формулам [122]

где радиус цилиндрической поверхности, разделяющей эти области, который определяется из уравнения [122]

Напряжения в области упругой деформации определяв ются по формулам

Поскольку интенсивность напряжений а принимает наибольшее значение на внутренней поверхности цилиндра, то при разгрузке на этой поверхности могут возникать вторичные пластические деформации. Поэтому при разгрузке, т. е. при уменьшении давления до искомого значения происходит упругая разгрузка, а начиная с некоторого значения давления появляется область вторичных пластических деформаций, которая при изменении давления от до нуля распространяется от внутренней поверхности до некоторой цилиндрической поверхности с радиусом [122].

Условие появления пластических деформаций на внутренней поверхности цилиндра при первом нагружении имеет вид

а условие появления пластических деформаций при полной разгрузке — вид [122]

Согласно теореме о вторичных пластических деформациях, остаточные напряжения определяются [122] следующим образом: при

при

где напряжения, определяемые формулами (11.43) для случая полной пластичности; фиктивные напряжения, которые в нашем случае с учетом формул (11.46) и (11.49) определяются таким образом [122]: при

при

Радиус границы области вторичных пластических деформаций определяется из уравнения (11.48) заменой от на

Рис. 113

Рис. 114

Зависимость величины зоны вторичных пластических деформаций в толстостенной трубе от величины внутреннего давления для различных значений отношения при приведена на рис. 113 [122]. Распределение остаточных напряжений в полом толстостенном цилиндре при показано на рис. 114 (кривые 2, 3) [122]. Напряжение (кривая 2) не принимает максимальные значения на внутренней поверхности цилиндра, как это следует из теоремы об упругой разгрузке (кривая

При повторном нагружении цилиндра давлением напряжения, согласно второй теореме о переменном нагружении, записываются в виде [122]

где компоненты напряжений, которые вычисляются по формулам (11.43) и (11,46) при наличии области упругой деформации; компоненты напряжений, которые совпадают в данном случае с напряжениями определяемыми по

формулам (11.54) и (11.55); - компоненты напряжений, которые определяются по формулам (11.46) и (11.49) при замене на а следовательно, на Для циклически упрочняющегося материала В этом случае при радиус границы, разделяющей области упругой и пластической деформаций при повторном нагружении). Тогда при условии (11.45) по толщине цилиндра необходимо различать три области, в каждой из которых выражения для напряжений будут различными.

Если давление таково, что то при напряжения определяются формулами (11.54) заменой в них на а напряжения формулами (11.46) заменой в них на на После соответствующих преобразований формулы (1156) имеют вид [122]

Выражения для находят таким же образом. При напряжения определяются по-прежнему формулами (11.54) заменой в них на а напряжения формулами (11.49) заменой в них на на Тогда после соответствующих преобразований формулы (11.56) при имеют вид [122]

Аналогично записываются выражения для При напряжения определяются формулами (11.55), а напряжения формулами (11.49) с указанной выше заменой. Тогда после соответствующих преобразований формулы имеют вид [122]

Выражения для получаются аналогичным путем. Радиус находим из уравнения [122]

полученного заменой в уравнении (11.48) на на на В циклически упрочняющемся материале с увеличением числа нагружений при давлении область пластических деформаций уменьшается, т. е.

Обозначим число повторных нагружений, при котором через Тогда начиная с нагружения в стенках цилиндра пластические деформации не возникают, а напряженное и деформированное состояния при каждом последующем нагружении повторяются, т. е. наступает предельное состояние. Число нагружений V, соответствующее предельному состоянию, при заданных значениях определяется из уравнения [122]

полученного заменой в уравнении на на з на Из уравнения (11.61) при заданных значениях определяем число нагружений начиная с которого в цилиндре наступит предельное состояние. Напряжения в предельном состоянии при произвольном нагружении записываются в виде [122]

Здесь определяются формулами (11.46) и (11.49) заменой в них на Для примера найдем напряжение которое возникло на внутренней поверхности трубы после нагружений. Используя первое уравнение (11.62) с учетом (11.46) и заменяя в последних уравнениях на при получаем

где определяется из уравнения

при

Поскольку величина всегда значительно меньше отношения вычисляя по методу наименьших квадратов находим

Учитывая, что

а также, что для больших значений из (11.61) имеем

где давление, которое необходимо приложить чтобы после его удаления на поверхности цилиндра возникли вторичные пластические деформации. Тогда выражение (11.63) для определения напряжений на внутренней поверхности цилиндра, в предельном состоянии запишется в виде [122]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление