§ 53. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ

Рассмотрим длинную двухпроводную линию (рис. 53.1). Введем емкость С, индуктивность и сопротивление линии на 1 см которые будем считать постоянными величинами. Тогда для участка линии эти параметры, очевидно, равны:

Найдем уравнения для силы тока I и напряжения в линии, являющихся некоторыми функциями . В качестве исходных возьмем уравнения (49.6), из которых, в частности, вытекает закон сохранения заряда в обычной форме:

Заряд участка линии может изменяться как из-за разности сил токов в точках так и из-за утечки (разряд линии). Таким образом,

где последний член, в котором описывает утечку в линии согласно закону Ома. Переходя в (53.1) к пределу находим

Наконец, запишем второй закон Кирхгофа для участка линии:

откуда после перехода к пределу выводим

Уравнения (53.2) и (53.3) называются телеграфными и являются основными при описании процессов в длинных линиях.

Дифференцируя (53.2) по х, а (53.3), умноженное на С, — по и вычитая полученные уравнения одно из другого, находим

Подставляя в взятое из (53.3), приходим к уравнению

Рис. 53.1

Замечая, что уравнение (53.5) содержит волновой оператор, отвечающий скорости распространения волны

попробуем искать решение этого уравнения в виде

что соответствует неискаженной волне, форма которой сохраняется, а амплитуда изменяется вдоль линии.

Подставляя (53.7) в (53.5) и приравнивая нулю коэффициенты при независимых функциях имеем

откуда

Последнее соотношение в (53.8) с учетом (53.6) принимает вид

и поэтому неискаженная волна существует только при выполнении условия

Как видно из (53.8), амплитуда неискаженной волны экспоненциально затухает вдоль линии. Для определения волны напряжения воспользуемся уравнением (53.3), подставляя в которое (53.7) имеем

откуда

т. е. вдоль линии сохраняется постоянным отношение

называемое волновым сопротивлением линии.

Если на конце линии поставить нагрузку то для непрерывности и 1 необходимо выполнение условия

называемого условием согласования нагрузки с линией. В этом случае в линии по-прежнему нет искажений, т. е. отсутствует отраженная волна.

Итак, мы нашли волны тока и напряжения в двухпроводной линии без искажений. Однако в произвольной линии условие (53.9) может и не выполняться. В этом случае форма волны оказывается более сложной. Для ее нахождения удобно воспользоваться методом Фурье, положив

где неизвестная функция, подбираемая так, чтобы удовлетворяло уравнению (53.5). Нетрудно видеть, что это выполняется при условии

Уравнение (53.14), называемое дисперсионным уравнением двухпроводной линии, имеет для к два очевидных решения, отличающихся знаком и соответствующих двум типам бегущих волн в линии - прямой и отраженной.