§ 24. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ПРОВОДНИКОВ

Так как в проводниках статический заряд распределен только по поверхностям, потенциал вдоль которых не меняется, то энергия такой системы [см. (23.3)] равна

где и -соответственно потенциал и заряд проводника. Решив основную задачу электростатики, т. е. найдя распределение потенциала в окружающем пространстве, всегда можно,

согласно (22.7), вычислить заряды проводников. В то же время, по теореме единственности (см. § 22), функция однозначно определяется потенциалами проводников Поэтому и заряды проводников некоторые однозначные функции всех потенциалов Из-за линейности уравнений поля (22.4) эти функции могут быть только линейными. Поэтому должна существовать связь вида

Постоянные коэффициенты называются емкостными коэффициентами системы проводников, а — потенциальными коэффициентами. При этом коэффициенты С и называют собственными емкостями, при коэффициентами взаимной емкости или коэффициентами электростатической индукции.

(см. скан)

Из (24.5) следует, что поэтому [см. (24.4)] тогда как Последнее обстоятельство является выражением того простого факта, что на проводниках всегда наводятся заряды противоположного знака. В самом деле, если заземлить все проводники, кроме то наведенный на проводнике заряд [см. (24.2)] равен Но если то очевидно, что собственный заряд проводника тогда как наведенные заряды при

Наконец, из (24.5) с учетом связи вытекает, что коэффициенты симметричны, т. е. Поэтому симметричными являются и емкостные коэффициенты:

(соотношение взаимности). Его часто формулируют в виде теоремы взаимности Грина, смысл которой состоит в следующем.

Рассмотрим два состояния одной и той же системы проводников. Пусть в одном из них заряды и потенциалы проводников а в другом Тогда, используя (24.2) и (24.6), имеем

Это и есть теорема взаимности Грина. Для одиночного проводника

где С — собственная емкость проводника. В частности, для металлического шарика радиуса а, находящегося в однородном диэлектрике с проницаемостью в и несущего заряд получаем т.е. В случае двух проводников, несущих равные и противоположные заряды

Такая система проводников обычно называется конденсатором, а коэффициент С — его емкостью.

(см. скан)

Если обкладки конденсатора расположены очень близко друг от друга, то в соответствии с (24.5) имеем так что приближенно можно считать тогда как Таким образом, согласно (24.10), емкость конденсатора примерно равна

(см. скан)

Выразим теперь энергию системы заряженных проводников через их потенциалы или заряды. Подставляя в (24.1) последовательно (24.2) и (24.3), находим

Отсюда следует еще одно явно симметричное представление для емкостных и потенциальных коэффициентов:

Из условия положительности квадратичной формы (24.11) получаем полезные неравенства

(см. скан)