§ 18. ПОТЕНЦИАЛ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ЗАРЯДОВ

Если заряд сосредоточен на некоторой поверхности то, вводя поверхностную плотность заряда определяющую заряд на элементе поверхности согласно формуле легко

получить из закона Кулона выражение для потенциала

Но (18.1) можно вывести и из общей формулы (17.4). Так, если поверхность задается уравнением то удобно ввести новые координаты в которых новое уравнение поверхности есть С этой целью положим

и будем считать Но элемент объема где -смещение вдоль нормали к поверхности, которое с учетом (18.2) равно

Теперь ясно, что для согласования (18.1) с (17.4) необходимо положить

При практическом использовании формулы (18.1) ее удобно записывать в координатах Для этого можно исходить из выражения для объема (см. задачу 9 приложения):

где

Но на поверхности вектор совпадает с нормалью, а векторы лежат в касательной плоскости. Поэтому

и из

т. е. гауссова форма элемента поверхности, которая удобна, если поверхность задается параметрически уравнением Тогда (18.1) принимает вид

Если заряд оказывается сосредоточенным вдоль некоторой линии С, то вводится линейная плотность заряда определяющая заряд на элементе длины по формуле Тогда

из закона Кулона

(см. скан)