Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13.4. Индекс Шура

Степень алгебры, очевидно, не является инвариантной относительно эквивалентности Мориты. Ввиду этого обстоятельства, а также других соображений полезно определить другую числовую функцию на множестве центральных простых алгебр.

Пусть согласно предложению 12.5b, существует алгебра с делением такая, что причем однозначно определена с точностью до изоморфизма. Явным образом алгебра определяется условиями: для подходящего алгебра с делением. Индекс Шура алгебры А есть число

Для краткости величину мы будем называть просто индексом — имя Шура и без того прославлено (например, выражением «лемма Шура»)

В этом параграфе мы воспользуемся результатами о полях разложения для доказательства некоторых важных фактов об индексе.

Лемма. Пусть Если конечное расширение, расщепляющее А, то делит Обратно, алгебра А содержит подполе являющееся ее полем разложения и такое, что

Доказательство. Если расщепляет алгебру то по теореме 13.3 существует алгебра содержащая в качестве строго максимального подполя и такая, что Если где алгебра с делением, то Для доказательства обратного утверждения представим алгебру в виде где -алгебра с делением и при некотором Согласно следствию максимальное подполе алгебры является строго максимальным. Это означает, что Ввиду теоремы 13.3 произвольное максимальное подполе алгебры есть поле разложения алгебры

Предложение. Пусть конечное расширение.

(ii) делит и в том и только том случае, когда А — алгебра с делением.

(iii) расщепляет А}.

(iv) делит .

(v) делит .

(vi) Если взаимно прост с то в этом случае, если А — алгебра с делением, то такова же и алгебра А.

(vii) делит .

(viii) Если то делит где тензорное произведение экземпляров алгебры А.

Доказательство. Утверждения простые следствия определений индекса и степени. Формула очевид

ное следствие предыдущей леммы. При доказательстве остальных утверждений можно считать, что алгебры с делением. Свойства вытекают тогда из Чтобы доказать рассмотрим расширение такое, что К — поле разложения алгебры Ясно, что К является полем разложения алгебры А, так что делит Из утверждений тогда непосредственно вытекает Для доказательства рассмотрим расширение такое, что К расщепляет В группе Брауэра поля К имеет место соотношение В силу леммы делит

В качестве приложения докажем полезный вариант следствия 13.3.

Следствие. Предположим, что -алгебра с делением и такое расширение, что — простой делитель Тогда следующие свойства эквивалентны.

(i) К изоморфно подполю алгебры D

(ii) не является алгеброй с делением,

Доказательство. Для доказательства импликации можно считать, что К — подполе алгебры Пусть максимальное подполе содержащее По теореме поле разложения алгебры поэтому расщепляет также и Ввиду доказанной выше леммы и предложения 13.1 получаем так что в силу утверждения (ii) предыдущего предложения не является алгеброй с делением. Обратно, если не является алгеброй с делением, то В этом случае из утверждений того же предложения и предположения простое число» следует, что Наконец, в силу леммы существует расширение такое, что расщепляет и Таким образом, расщепляет алгебру и утверждение (iii) влечет за собой В силу следствия 13.3 поле изоморфно подполю алгебры поэтому этим свойством обладает и

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление