Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12.6. Теорема Нётер — Сколема

Цель настоящего параграфа — доказать теорему Нётер — Сколема для алгебр из класса Более общий результат содержится в упр. 1.

Начнем с рассмотрения частного случая теоремы Нётер — Сколема, из которого затем будет выведен общий результат.

Лемма. Пусть В — конечномерная простая F-алгебра и векторное пространство над полем Если гомоморфизмы то существует элемент такой, что для всех

Идея доказательства заключается в том, что снабжают структурами -модулей. Полученные модули обязаны быть изоморфными, поскольку В — простая алгебра, а модули над конечномерными простыми алгебрами в соответствии со следствием классифицируются их размерностями. Искомое линейное преобразование есть в точности изоморфизм этих модулей. Точнее, определим как правый -модуль на с операцией умножения на скаляры и зададим операцию умножения на скаляры в следующим образом: и Стандартные вычисления показывают, что все аксиомы для модулей в и выполнены. Пусть изоморфизм -модулей, существование которого обеспечено следствием Тогда т. е. для всех

Теорема Нётер — Сколема. Пусть и предположим, что В — простая подалгебра алгебры А. Если гомоморфизм алгебры В в алгебру А, то существует элемент такой, что для всех

Доказательство. В силу предложения существует изоморфизм F-алгебр Положим где -гомоморфизм вложения. Поскольку алгебра проста по лемме то из леммы вытекает существование элемента такого, что для всех Пусть Так как обратимый элемент, то и обратим, причем Кроме того, поскольку изоморфизм алгебр, то

Так как изоморфизм инъективен, то

Полагая в получим т. е. последнее в силу леммы Аналогично, Поэтому где Следовательно, Наконец, если в равенстве (1), то и для всех поэтому

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление