Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12.3. Теорема Джекобсона — Бурбаки

Если А — простая F-алгебра, то расширение, являющееся конечным в случае, если Теорема Джекобсона-Бурбаки устанавливает соответствие Галуа между полями К, такими, что и некоторыми подалгебрами алгебры Наиболее важное приложение этого результата относится к теории Галуа, но он также полезен и при изучении центральных простых алгебр.

Пусть А является -алгеброй. Мы будем рассматривать А и как левый -модуль и как правый -модуль. Вообще говоря, не является -бимодулем. Ограничение скаляров позволяет рассматривать как левый модуль над подалгебрами алгебры и как правый модуль над подалгебрами в В частности, структура левого Л-мо-дуля совпадает со структурой модуля, определенной подалгеброй алгебры поскольку левое регулярное представление инъективно. В дальнейшем удобно, допуская некоторую вольность в обозначениях, отождествлять кольцо с его образом в алгебре

Так как правый -модуль, то правое регулярное представление определяет гомоморфизм алгебры в алгебру Именно для Образ алгебры относительно есть подалгебра алгебры (следовательно, также и алгебры которая называется алгеброй умножений алгебры Мы будем обозначать эту алгебру через

Правое регулярное представление алгебры может рассматриваться как инъективный гомоморфизм алгебры действующий справа на В ряде случаев полезно рассматривать левое регулярное представление к как гомоморфизм алгебры в алгебру который также действует справа на Так как множество порождает то является подалгеброй алгебры которая порождается множеством Эта характеризация алгебры принимается часто в качестве определения.

Лемма. Для подалгебры В алгебры и подалгебры алгебры положим Тогда и -подалгебры соответственно алгебр и

Кроме того,

Доказательство. Утверждения являются стандартными следствиями определений Из определения с учетом леммы 12.1 вытекает, что Следовательно, имеем

Теорема Джекобсона — Бурбаки. Пусть А — конечномерная простая алгебра над полем Тогда отображения х и определяют взаимно обратные взаимно однозначные соответствия между множеством подалгебр алгебры которые содержат и множеством подполей поля содержащих

Доказательство. Если то из следует, что (последнее в силу леммы). Так как - конечномерная подалгебра конечномерного расширения поля то -поле. (Этот факт легко следует также из определения Следовательно, Аналогично, если то значит, Остается показать, что для всех для всех Пусть Поскольку простая алгебра, то простой модуль ввиду первой части утверждения леммы 12.1. Действительно, по определению Следовательно, модуль прост, потому что Кроме того, если то так как В частности, конечно порожденный левый модуль над По теореме плотности каждый элемент может быть получен из произвольной образующей с помощью действия элемента из В. Значит, Для доказательства равенства при полезно сначала заметить, что если то Действительно, Таким образом, тогда и только тогда, когда Использование этого замечания в случае дает в силу примера 12.1.

Следствие. Если А — конечномерная простая алгебра над полем такая, что то

Упражнение

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление