Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11.4. Размерность

Геометрическое понятие размерности может быть перенесено в алгебраическую ситуацию благодаря использованию групп когомологий Хохшильда. Из топологии хорошо известно, что последовательность групп когомологий -мерного многообразия обращается в нуль в размерностях, превышающих в то время как для подходящим образом подобранной области коэффициентов. Сходство в определениях и свойствах когомологий Хохшильда и топологических когомологий наводят на мысль, что аналогичное понятие размерности может оказаться плодотворным инвариантом для алгебр. Эта идея и составляет тему настоящего и двух последующих параграфов. В частности, мы покажем, что алгебры нулевой размерности — это в точности сепарабельные алгебры, которые изучались в гл. 10.

Начнем с одной полезной леммы, которая также может служить мотивировкой определения размерности.

Лемма. Пусть А есть R-алгебра, которая является проективным R-модулем. Предположим, что натуральное число обладает свойством для всех -бимодулей Тогда, если для всех -бимодулей

Доказательство. Ввиду очевидных индуктивных соображений достаточно доказать, что для всех В силу теоремы 11.2 имеется короткая точная последовательность -бимодулей такая, что для всех Это свойство бимодуля с учетом условия леммы приводит к следующему отрезку соответствующей длинной точной последовательности:

Таким образом,

Определение. Пусть А — нетривиальная -алгебра. Ее размерностью называется число

Если для любого существует -бимодуль со свойством то размерность равна Следует отметить, что под знаком в этом определении стоит непустое множество, ибо в частности, поскольку алгебра нетривиальна.

Пусть R-алгебра А удовлетворяет условию, что модуль проективен. Тогда из предыдущей леммы вытекает, что если для всех бимодулей то В заключение этого параграфа переформулируем условие того, что алгебра имеет размерность, не превосходящую двух, в более привычных терминах.

Элементами модуля являются билинейные отображения со свойством т. е.

для всех х, у, z из А. Билинейное отображение, удовлетворяющее (1), называется системой факторов алгебры со значениями в бимодуле Такие отображения встречаются при изучении расширений групп и алгебр. Системы факторов вида где некоторое линейное отображение, называются расщепляющимися. Согласно определению 11.1а, это система факторов определяемая соотношением

Из леммы получаем следующий результат.

Следствие. Если алгебра А является проективным R-модулем, то в том и только том случае, если каждая система факторов алгебры А со значениями в любом бимодуле расщепляется.

Упражнение

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление