Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10.3. Сепарабельные алгебры являются конечно порожденными

Утверждение, указанное в названии параграфа, не совсем точно. Строгая формулировка имеет следующий вид.

Предложение. Пусть А — сепарабельная R-алгебра, которая является проективным R-модулем. Тогда А конечно порождена как R-модуль.

Доказательство. На первом шаге мы, используя -проектив-ность построим три набора объектов заиндексированных одним и тем же множеством I, для которых выполняются следующие условия: при

Из этих свойств и существования сепарирующего идемпотента алгебры А легко выводится конечная порожденность В самом деле, пусть По определению для всех Поэтому, согласно (2), а из (3) и (1) вытекает, что

поскольку пополняющее отображение является гомоморфизмом бимодулей. Таким образом, А как -модуль порождается конечным множеством Остается построить гомоморфизмы и элементы Используемый метод представляет собой некоторую модификацию построения дуальных базисов в проективных модулях. Поскольку -модуль А проективен, то модуль А также проективен. Таким образом, существует свободный -модуль с базисом такой, что является прямым слагаемым в другими словами, и существует такой проектирующий гомоморфизм что Ввиду того что модуль свободен и - его базис, существуют однозначно определенные гомоморфизмы -модулей такие, что для любого множество конечно и Отображения являются в действительности ограничениями на координатных проекций. Тогда

для всех Поскольку отображение является, очевидно, билинейным отображением произведения в то существование гомоморфизмов удовлетворяющих (1), обеспечивается свойством универсальности тензорных произведений. Кроме того, что доказывает (2). Другими словами, является гомоморфизмом правых -модулей. Наконец, положим Достаточно доказать (3) для Согласно конечное множество, а в силу (4)

Следствие. Пусть сепарабельная F-алгебра. Тогда А конечномерна.

Этот результат вытекает из доказанного выше предложения, ибо любое -пространство является свободным, а следовательно, и проективным модулем.

Упражнение

Доказать, что если рассматривать как -алгебру, то она является сепарабельной, но не будет конечно порожденной как -модуль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление