Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8.3. Приложения к алгебрам

Цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, как теорема 8.2 применяется для определения типов алгебр, которые описаны в § 8.1.

Колчан называется разделенным (separated) или двудольным (bipartite), если V представляется в виде несвязного объединения и все ребра начинаются в а оканчиваются в т. е. если то Мы будем называть множеством источников, множеством стоков колчана Если некоторая вершина не лежит ни на одном ребре, то ее можно отнести и в в зависимости от того, как нам удобнее.

По любому колчану можно построить разделенный колчан где При этом Если В — артинова алгебра с колчаном то возникающий здесь разделенный колчан называется разделенным колчаном алгебры В и обозначается через

Пусть разделенный колчан с множеством источников IV, представление колчана называется приведенным, если для всех пересечение ядер взятое по всем таким, что равно нулю. Например, простое представление

колчана определенное в примере 8.2, является приведенным в том и только том случае, если

Лемма а. Пусть разделенный колчан с множеством источников и пусть и —представления колчана Тогда имеют место следующие утверждения:

(i) , где приведенное представление, при этом для всех ;

(ii) представление является приведенным тогда и только тогда, когда оба представления и приведены,

(iii) неразложимое представление либо является приведенным, либо изоморфно одному из простых представлений для некоторого

Доказательство, (i) Для представим в виде , и пусть Ввиду того что где становится очевидным, что Отсюда следует, что и

Утверждение (ii) вытекает из определения приведенного представления, ибо

Наконец, утверждение (iii) является следствием утверждений

Лемма Пусть алгебра над определенная в § 8.1. Существует биекция между классами изоморфизма конечно порожденных неразложимых правых -модулей и классами изоморфизма неразложимых представлений разделенного колчана не изоморфных простому представлению вида В частности, алгебра В имеет конечный тип в том и только том случае, когда колчан имеет конечный тип.

Доказательство. Если конечно порожденный правый -модуль, то конструкция, изложенная в § 8.1, приводит к представлению разделенного колчана Согласно представление приведенное. В силу леммы любой гомоморфизм модулей индуцирует морфизм

из в Несложное вычисление показывает, что R является функтором из категории конечно порожденных правых -модулей в категорию Кроме того, ввиду леммы функтор R является полным, т. е. отображает на сюръективно. Леммы и с показывают также, что отображение переводит классы изоморфизма -модулей в классы изоморфизма объектов из причем любой класс приведенных объектов из содержит представитель вида Эти замечания с учетом двух простых утверждений, вытекающих из определения а именно:

и

позволяют доказать утверждение нашей леммы. Действительно, если конечно порожденный неразложимый -модуль, то представление также неразложимо. В самом деле, согласно (2). Далее, из того что вытекает, что существуют конечно порожденные -модули и удовлетворяющие условиям откуда, согласно (1), так что а значит, либо либо (и, следовательно, либо в силу неразложимости модуля Обратно, если неразложим, то также неразложимо в силу свойств (1) и (2).

Эта лемма и теорема 8.2 позволяют определить тип алгебр, рассмотренных в § 8.1.

Предложение. Пусть некоторый колчан и ассоциированный с ним разделенный колчан. Если алгебра над определенная в § 8.1, то В имеет конечный тип в том и только том случае, если диаграмма, отвечающая является несвязным объединением диаграмм Дынкина типов или

В гл. 11 мы дадим более интересную формулировку этого предложения.

Стоит прокомментировать один аспект данного предложения. Доказательство теоремы 8.2, которое будет проведено в настоящей главе, является конструктивным. В нем содержится метод построения неразложимых представлений, исходя из простых представлений колчанов, связанных с Этот процесс приводит к алгоритму построения неразложимых -модулей при условии, что имеет конечный тип.

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление