Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7.3. Категории последовательностей

Пусть Под -последовательностью понимают короткую точную последовательность гомоморфизмов модулей, такую, что и отображение является вложением (следовательно, ). Строго говоря, последовательность полностью определяется заданием одного гомоморфизма однако в развиваемой нами теории ядро гомоморфизма играет важную роль, и поэтому мы предпочитаем явно его указывать, несмотря на то что это приводит к несколько громоздким обозначениям.

Р-последовательность называется расщепляющейся, если существует такой гомоморфизм -моду-лей что По лемме 5.4а последовательность 2 расщепляется тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм со свойством

Будем обозначать класс всех -последовательностей через Можно естественным образом ввести понятие морфизма последовательностей, превращающее в категорию. Пусть — две -последовательности. Тогда морфизмом между ними называется гомоморфизм -модулей такой, что диаграмма

коммутативна. Условие коммутативности сводится к тому, чтобы ибо тогда Ясно, что композиция морфизмов является морфизмом, а морфизм обладает обычными свойствами тождественного морфизма последовательности 2:

Терминология, относящаяся к гомоморфизмам модулей, будет применяться и к морфизмам объектов из В частности, морфизм будет называться расщепляющейся инъекцией или расщепляющейся сюръекцией, если (соответственно для некоторого морфизма В этом случае очевидно, является расщепляющимся инъективным (сюръективным) гомоморфизмом модулей. Для расщепляющихся сюръекций верно также обратное утверждение. В самом деле, если удовлетворяет условию то так что является морфизмом -последовательностей В частности, гомоморфизм является изоморфизмом в тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом модулей.

Лемма. Пусть некоторая -последовательность. Предположим, что Положим обозначим через естественную проекцию. Тогда справедливы следующие утверждения.

(i) является изоморфизмом;

(ii) существует единственный сюръективный гомоморфизм такой, что Таким образом, последовательность

является -последовательностью, а есть морфизм

(iii) если последовательности расщепляются для всех то последовательность 2 также расщепляется.

Доказательство. Утверждение (i) очевидно, а утверждение (ii) следует из определений с учетом сюръективности и и того факта, что Доказывая предположим, что все последовательности расщепляются, т. е. существуют такие гомоморфизмы что Пусть гомоморфизм вложения, отвечающий разложению Определим х так Если и то для Таким образом,

С учетом того, что гомоморфизм и отсюда следует, что Тем самым расщепляемость последовательности 2 установлена.

Пусть — некоторая -последователь-ность. Будем говорить, что 2 является простой, если она не расщепляется и -модуль является неразложимым. Такой выбор терминологии объясняется тем, что для последовательностей с такими свойствами имеет место аналог леммы Шура (см. следствие 7.4а).

Предложение. Если и не является проективным, то существует простая -последовательность.

Доказательство. В силу того что модуль конечно порожден, существует свободный -модуль вместе с сюръективным гомоморфизмом Положим Тогда последовательность является -последовательностью, которая не может расщепляться; в противном случае модуль оказался бы прямым слагаемым свободного модуля т. е. проективным модулем. Из леммы вытекает существование такого неразложимого слагаемого модуля что

последовательность где подходящий фактормодуль модуля некоторый его гомоморфизм, не является расщепляющейся. Очевидно, что последовательность 2 искомая.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление