Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6.2. Гомоморфизмы проективных модулей

В этом параграфе мы исследуем связь между гомоморфизмами -модуля -модуль и гомоморфизмами -модуля Если алгебра артинова, а модули проективны, то эта связь в действительности очень тесная.

Результаты § 2.1 показывают, что фактормодули и можно рассматривать и как -модули, и как -модули. Поскольку

то мы можем выбирать ту алгебру скаляров, которая нам удобнее.

Пусть некоторая -алгебра и ее произвольный идеал. Тогда отображение продолжается до функтора из категории правых -модулей в категорию правых -модулей. Действительно, если гомоморфизм -модулей, то Следовательно, существует единственный гомоморфизм -модулей такой, что где проекции и Отображение не только функториально, но и является гомоморфизмом -модулей.

Лемма а. Для всех пар правых -модулей существует R-модульный гомоморфизм такой, что Если и то В частности, является гомоморфизмом R-алгебры в R-алгебру

Доказательство этой леммы оставляется в качестве упражнения (см. упр. 1).

Лемма Сохраним предположения и обозначения леммы а. Тогда если модуль проективен, то гомоморфизм -> Ношл/у сюръективен.

Доказательство. Рассмотрим Тогда ввиду проективности и сюръективности гомоморфизма из предложения вытекает существование гомоморфизма -модулей такого, что диаграмма

коммутативна. По определению

Предложение. Пусть артинова справа алгебра и проективный правый -модуль. Тогда функтор индуцирует изоморфизм

Кроме того, если то для всех

Доказательство. Для упрощения обозначений будем писать вместо . А вместо и вместо Согласно леммам гомоморфизм -алгебр 0: Ел является сюръекцией. Пусть тогда Применяя это соотношение раз, получим для любого Таким образом, каждый элемент из нильпотентен, так что в силу следствия Остается показать, что Ввиду полупростоты алгебры модуль согласно предложению также полупрост, так что в соответствии в примером 4.3. Последнее означает, что откуда по лемме

Следствие. Пусть А — артинова справа алгебра. Проективные правые -модули изоморфны в том и только том случае, если изоморфны фактормодули

Доказательство. Если изоморфизм, то из функториальности вытекает, что Следовательно, Обратно, если то существуют гомоморфизмы такие, что — Согласно предложению так что обладает левым обратным. Аналогично показывается, что обладает правым обратным. Таким образом, изоморфизм.

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление