Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.3. Лемма Фиттинга

Цель этого параграфа — доказать обращение следствия Это выводится из леммы Фиттинга, одного из основных элементов аппарата теории алгебр. Вначале докажем одну лемму, которая сама по себе находит много приложений.

Лемма. Пусть некоторый -модуль, Тогда каждое из следующих условий позволяет утверждать, что автоморфизм:

(i) модуль нётеров, а эндоморфизм сюръективен

(ii) модуль артинов, а эндоморфизм инъективен.

Доказательство. Предположим, что нётеров, а сюръективен. Условие обрыва возрастающих цепей, примененное к цепочке позволяет найти такое что Отсюда следует, что

(0). Ввиду сюръективности эндоморфизм также сюръективен. Поэтому Кегф Доказательство того, что из (ii) также следует включение мы оставляем в качестве упражнения (см. упр. 1).

Лемма Фиттинга. Пусть -некоторый А-модуль, являющийся одновременно артиновым и нётеровым. Тогда для любого эндоморфизма существует разложение обладающее свойствами:

(ii) ограничение является автоморфизмом,

(iii) ограничение нильпотентный эндоморфизм.

Доказательство. Из предположения об артиновости и нётеровости посредством рассмотрения цепочек получаем существование такого натурального числа что для всех Положим Тогда

Согласно

предыдущей лемме, ограничение является автоморфизмом. Далее так что ограничение ниль-потентный эндоморфизм. Кроме того, ибо ограничение является одновременно инъективным и нильпотентным. Наконец, имеем

Следствие. -модуль являющийся одновременно артиновым и нётеровым, неразложим в том и только том случае, когда алгебра локальна.

Доказательство. Если алгебра локальна, то модуль неразложим согласно следствию Предположим, что модуль неразложим. Тогда по лемме Фиттинга каждый элемент алгебры Ел либо нильпотентен, либо обратим. Следовательно, алгебра локальна в силу следствия 5.2а.

Мы будем применять это следствие главным образом в той ситуации, когда является конечно порожденным правым модулем над артиновой справа алгеброй А. В этом случае, согласно следствию модуль автоматически является и артиновым, и нётеровым. Используя следствие в подобном контексте, мы будем часто опускать ссылку на следствие

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление