Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5.2. Локальные алгебры

Простые модули, очевидно, неразложимы. Обратное утверждение справедливо для модулей над полупростыми алгебрами, но нарушается в общем случае. Для артиновых алгебр существует характеризация конечно порожденных неразложимых модулей в терминах их алгебр эндоморфизмов, которая является аналогом характеризации простых модулей, доставляемой леммой Шура.

Определение. Алгебра А называется локальной, если факторалгебра является алгеброй с делением.

Отметим, что если алгебра А локальна, то так что А нетривиальна.

Предложение. Пусть А — нетривиальная алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) алгебра А локальна,

(ii) множество содержится в ;

(iii) множество замкнуто относительно сложения.

Доказательство. Если то, согласно существует такой что Следовательно, ввиду предложения аналогично устанавливается, что и Отсюда следует, что

Так как алгебра нетривиальна, то из предложения 4.3, очевидно, вытекает, что обратимые элементы алгебры не могут попадать в т. е. Таким образом, условие (ii) в действительности эквивалентно тому, что так что (iii) является следствием того факта, что является идеалом.

(iii) (i). Пусть Согласно предложению 4.3, в существуют такие элементы что Следовательно, ибо в противном случае в силу Отсюда следует, что х обладает правым и левым обратным в так что Это рассуждение показывает, что откуда вытекает, что факторалгебра является алгеброй с делением.

Следствие а. Пусть А — алгебра, все необратимые элементы которой нильпотентны. Тогда она локальна.

Доказательство. Пусть Согласно предположению, существует наименьшее натуральное со свойством Далее, для всех элемент В противном случае из равенства вытекает, что а это противоречит минимальности Таким образом, из условия следует, что все элементы из нильпотентны, так что ввиду следствия Это доказывает, что Поэтому алгебра локальна в силу предложения.

Следствие Пусть такой -модуль, что алгебра эндоморфизмов локальна. Тогда модуль неразложим.

Доказательство. Предположение о локальности Ел включает условие о том, что так что Если соответствующие проекции, то ввиду равенства и локальности алгебры Ел по крайней мере один из эндоморфизмов или обратим. Так как то отсюда следует, что либо либо т. е. либо либо

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление