Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20.8. Универсальные алгебры с делением

В этом параграфе главные результаты главы будут соединены с более ранними теоремами об алгебрах с делением для получения решения проблемы, которая долгое время считалась одной из самых важных в теории центральных простых алгебр:

каждая ли алгебра с делением является скрещенным произведением? Предполагаемый отрицательный ответ и в самом деле соответствует действительности.

В этом параграфе поле F предполагается бесконечным. Если же F конечно, то каждая алгебра — скрещенное произведение.

Поскольку область целостности в силу предложения 20.5, то ее центр также область целостности. Пусть поле частных кольца Положим

Предложение. (i) - центральная алгебра с делением над полем .

(ii) Отображение вкладывает как R-подалгебру.

(iii) Каждый элемент алгебры имеет вид для подходящих

Доказательство. Утверждение (iii) вытекает из следующего замечания: Если в алгебре то (см. упр. 3). Поэтому гомоморфизм -алгебр 1 инъективен. Если то Из того что является областью целостности, следует, что или Поэтому также область целостности. Кроме того, из вытекает, что для всех Следовательно, Таким образом, поле. В силу леммы 20.3а и теоремы Амицура-Левицкого алгебры удовлетворяют стандартному тождеству Ггга, но не удовлетворяет тождеству Ввиду предложения -алгебра с делением.

Алгебра называется универсальной алгеброй с делением степени для поля (Конечно, поле F не является ее центром, если Нам будет удобно отождествлять алгебру с ее образом в алгебре В силу утверждения (iii) предыдущего предложения алгебра существенный -подмодуль алгебры т. е. если то так что существует элемент такой, что

Лемма а. Пусть К — расширение поля Тогда имеют место следующие утверждения.

(i) Если гомоморфизм F-алгебр, то

(ii) Если различные ненулевые элементы алгебры то существует гомоморфизм F-алгебр такой, что различные элементы группы

Доказательство. Свойство (i) является простым следствием леммы 20.6а. Доказательство утверждения (ii) разобьем на три шага. Если то для некоторого гомоморфизма В самом деле, согласно лемме где гомоморфизм проекции и нетривиальный центральный полином для алгебры Таким образом, является в силу леммы 20.6а нетривиальным центральным полиномом для А, т. е. существует гомоморфизм такой, что Так как то существует гомоморфизм такой, что В частности, Далее, предположим, что В силу предыдущего предложения где алгебра с делением. Следовательно, элемент является корнем полинома Пусть такой элемент, что при В частности, Следовательно, существует гомоморфизм такой, что Таким образом, Для доказательства утверждения (ii) положим Если гомоморфизм, такой, что то различные ненулевые элементы группы

Сейчас мы установим один технический результат, являющийся ключевым моментом доказательства теоремы Амицура. Для того чтобы алгебра была скрещенным произведением, в ней должно существовать максимальное подполе такое, что расширение Галуа. Из этого предположения с учетом леммы вытекает существование максимальных подполей весьма специального вида в центральных простых алгебрах с делением над произвольным полем Для многих полей F и чисел это приводит к противоречию. Следовательно, алгебра не является скрещенным произведением.

Лемма Пусть подполе алгебры такое, что расширение Галуа. Если расширение и алгебра с делением, то существует подполе алгебры такое, что расширение Галуа и

Доказательство. Мы будем использовать следующие обозначения: Поскольку расширение Галуа, оно просто: для подходящего элемента Если минимальный полином элемента х над полем имеет степень то корень полинома где Для каждого в силу теоремы Нётер — Сколема

существует элемент такой, что

Отметим, что каждый элемент принадлежит полю поскольку расширение Галуа. Существенный момент доказательства состоит в том, что элемент х и все можно выбрать в алгебре и тогда мы можем считать, что для всех Следующие четыре замечания делают это утверждение очевидным: если то для некоторого ненулевого элемента здесь достаточно конечного числа элементов и поэтому можно выбрать одним и тем же для всех равенства (1) остаются справедливыми, если все элементы в них умножить на один и тот же элемент Итак, отныне будем считать, что элемент х и все принадлежат алгебре для всех При этих условиях из леммы а вытекает существование гомоморфизма -алгебр такого, что все элементы различны и не равны нулю, для всех Положим Так как алгебра с делением из класса то подполе в В силу леммы а В частности, для всех Из того что элемент является корнем ненулевого полинома следует, что Доказательство будет закончено, если мы определим инъективный гомоморфизм группы в группу После этого мы будем иметь так что расширение Галуа и При определим как внутренний автоморфизм алгебры задаваемый правилом Если то В силу что Обобщая это вычисление, мы получим, что если , то В частности, Следовательно, гомоморфизм группы Этот гомоморфизм инъективен, поскольку различные элементы алгебры Действительно, если то так что

Теорема Амицура. Если скрещенное произведение, то различные нечетные простые числа.

Доказательство. Предположим, что скрещенное произведение, например максимальное подполе алгебры

такое, что расширение Галуа. Согласно теореме 19.9, существует расширение и алгебра с делением такая, что если максимальное подполе алгебры являющееся расширением Галуа поля К, то произведение циклических групп простых порядков. В силу леммы группа должна быть произведением циклических групп простых порядков. Пусть простое число, такое, что не делит например если нечетно. По поводу случая, когда четно, см. упр. 4. Согласно теореме 17.10, существует алгебра с делением В силу леммы содержит максимальное подполе такое, что абелево расширение степени произведение циклических групп простых порядков. Ввиду предложения 17.7 существует поле F между такое, что расширение неразветвлено и вполне разветвлено: Поскольку группа произведение циклических групп простых порядков, она является полупростым -модулем: подгруппы — его прямые слагаемые. На языке подполей это замечание означает, что существует подполе поля такое, что Отсюда следует, что расширение вполне разветвлено и В силу следствия 19.8 индекс делит Поэтому или 2. Согласно предложению 17.8 группа циклический гомоморфный образ группы откуда произведение различных простых сомножителей. Следовательно, где или различные нечетные простые числа.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

Замечания к гл. 20

Всякому, кто знаком с литературой о полиномиальных тождествах, не нужно говорить, что эта глава почти целиком основана на великолепной монографии Прочези [64]. Другие источники, из которых мы почерпнули некоторые идеи и доказательства, — это монография [48] Джекобсона, книга Херстейна [42] и статья Амицура [5].

Материал § 20.1 допускает широкое обобщение на универсальные алгебры. Результаты этого параграфа верны для многообразий групп, решеток и т. д. Теорема 20.1 является специализацией на случай F-алгебр характеризации Биркгофа — Тарского эквациональных классов. Начиная со второго параграфа, воздействие теории колец перерастает влияние универсальной алгебры. Наше изложение покрывает лишь самые основы теории полиномиальных тождеств, и наш подход является более или менее стандартным. Приведенное нами доказательство теоремы Амицура — Левицкого в § 20.4 принадлежит Россету; оно значительно короче более ранних доказательств. Первые семь параграфов этой главы на первый взгляд не связаны с содержанием предыдущих глав. Подлинная цель этой главы не проявляет себя вплоть до § 20.8. Приятно обнаружить, что значительные усилия, затраченные в предыдущих параграфах, приносят внушительные плоды: в результате мы получаем решение трудной старой проблемы классической алгебры. Будет удивительным, если универсальные алгебры с делением не останутся предметом пристального внимания специалистов в течение ближайших десятилетий.

Новое интересное направление в теории полиномиальных тождеств связано с исследованием строения собственных гомоморфных образов алгебры В связи с этим отметим работу А. Р. Кемера [10]. В ней показано, что если ненулевой -идеал алгебры где поле нулевой характеристики, то существует конечное множество первичных -идеалов, содержащих пересечение которых нильпотентно по модулю Кроме того, первичные -идеалы описаны Кемером как тождества, которым удовлетворяют алгебры одного из трех совершенно конкретных типов. Эти результаты являются значительным продвижением в проблеме описания многообразий алгебр над полем.

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление