Главная > Математика > Ассоциативные алгебры
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17.9. Норменные факторгруппы

Мы подошли вплотную к описанию группы в случае, когда локальное поле. Ввиду следствия 17.7а где объединение берется по всем конечным неразветвленным расширениям Каждое неразветвленное расширение ввиду предложения 17.8 циклично, так что

Таким образом, остается описать норменныё факторгруппы неразветвленных расширений локального поля В этом параграфе будет показано, что если то группа является циклической группой порядка

Сохраним предположения и обозначения § 17.8. Мы также будем предполагать, что т. е. неразветвленное расширение (локальных полей) степени Значит, и группы Галуа циклические порядка Автоморфизм Фробениуса а порождает группу а его образ при изоморфизме действует на F по правилу где В дальнейшем удобно использовать для отображений нормы и следа из сокращенные обозначения Таким образом, для всех Аналогично, будут обозначать отображения нормы и следа для расширения

Отметим один стандартный факт, доказательство которого мы предоставляем читателю (упр. 1).

Лемма a. .

Самой важной частью доказательства основного результата является следующая лемма.

Лемма Пусть Тогда

Доказательство. Если то в силу неархимедовости нормирования и леммы 17.8а. В частности, отображает компактное множество непрерывно. Следовательно, замкнутое подмножество множества и лемма будет доказана, если мы покажем, что плотно в Пусть Тогда

В самом деле,

С помощью аналогичного вычисления получаем равенство Из леммы а и равенства (1) следует, что

т. е. каждый элемент из можно представить в виде где Пусть униформизующая: Поскольку расширение неразветвлено, мы также имеем Из равенства (2) вытекает, что для всех 1. Следовательно, Кроме того, если то где с То есть Поэтому для Из с помощью индукции получаем, что для всех Следовательно, плотное подмножество множества

Предложение. Пусть К — неразветвленное расширение локального поля Тогда группа является циклической группой порядка Кроме того, если является униформизующей, то элемент порождает группу

Доказательство. Ввиду леммы о змее имеем следующую коммутативную диаграмму с точными строками и столбцами:

Как и в гл. 16, обозначает экспоненциальное отображение По лемме Следовательно, нормирование индуцирует изоморфизм между группами при котором элемент отображается в образующую группы

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление